Determinar o valor de a para que seja 45^circ o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1, a).
Resposta: a=3 ou a=-13.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o valor de para que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2 e u cdot v = 2 times 1 + 1 times a = 2 + a , o produto escalar é dado por:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, precisamos das normas (ou comprimentos) dos vetores | w | = raizw1^2 + w2^2 e | u | = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 . A norma de um vetor | v | = raiz1^2 + a^2 = raiz1 + a^2 é:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores é dado por:
cos(theta) = u cdot v| u | times | v |
No nosso caso, raiz22 = 2 + araiz5 times raiz1 + a^2 , e sabemos que . Substituindo tudo na fórmula:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar raiz22 times raiz5 times raiz1 + a^2 = 2 + a . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raiz102 times raiz1 + a^2 = 2 + a :
( raiz102 )^2 times (1 + a^2) = (2 + a)^2
Simplificando:
104 times (1 + a^2) = 4 + 4a + a^2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
52 (1 + a^2) = 4 + 4a + a^2
Calculando:
5(1 + a^2) = 8 + 8a + 2a^2
Simplificando:
5 + 5a^2 = 8 + 8a + 2a^2
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar a fração:
5a^2 - 2a^2 - 8a + 5 - 8 = 0
Expandindo:
3a^2 - 8a - 3 = 0
Leve tudo para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
3a^2 - 8a - 3 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
a = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 times 3 times (-3)2 times 3 = 8 pm raiz64 + 366 = 8 pm raiz1006 = 8 pm 106
Então:
a = 186 = 3 ou a = -26 = -13

Resposta

ou .

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