Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a vetores de . No nosso caso, isso significa todas as combinações lineares dos vetores e .
Então, a imagem de é:
Aqui, “span” significa todas as combinações lineares desses vetores.
Passo 3
Agora, precisamos determinar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base da imagem de e a dimensão será 2. Se não forem, será necessário reduzir para um conjunto de vetores linearmente independentes.
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Se , então
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Já que os vetores e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 2.