Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3)
Determine:
© Uma base e a dimensão de Im(T).
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Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T(1,-1) = (3, 2, -2) e T(-1, 2) = (1, -1, 3) definida por duas imagens específicas:
A parte © do exercício quer que a gente determine uma base e a dimensão de , que é o conjunto de todas as imagens que a transformação pode produzir. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, base, e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando Im(T) = span, (3, 2, -2), (1, -1, 3) , a vetores de . No nosso caso, isso significa todas as combinações lineares dos vetores e .
Então, a imagem de é:
Aqui, “span” significa todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 3

Agora, precisamos determinar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base da imagem de a cdot (3, 2, -2) + b cdot (1, -1, 3) = (0, 0, 0) e a dimensão será 2. Se não forem, será necessário reduzir para um conjunto de vetores linearmente independentes.
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
3a + b = 0 2a - b = 0 -2a + 3b = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é e :
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Se , então
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Já que os vetores e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

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