Determinar o valor de n para que seja de pi6 rad a medida do ângulo entre as retas:
r: x-24=y+45=z3 e s:l y=n x+5 z=2 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo entre as duas retas dadas seja radianos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar os vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta x-24 = y+45 = z3 está dada na forma simétrica:
y = n x + 5 z = 2 x - 2
Aqui, os denominadores 4, 5 e 3 representam as componentes do vetor diretor da reta v = lang<= 1, n, 2 rang<= , ou seja, .
A reta está definida por um sistema de equações:
Podemos reescrever essas equações em termos de :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo cos(theta) = u cdot v|u| , |v| entre dois vetores u cdot v = (4)(1) + (5)(n) + (3)(2) = 4 + 5n + 6 = 10 + 5n e |u| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2 :
|v| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar:
Módulo de :
Módulo de :

Passo 4

Sabemos que o ângulo entre as retas deve ser cos(pi6) = 10 + 5n5raiz2 cdot raizn^2 + 5 radianos. Então, substituímos na fórmula:
raiz32 = 10 + 5n5raiz2 cdot raizn^2 + 5
Sabendo que raiz32 = 5(2 + n)5raiz2 cdot raizn^2 + 5 implies raiz32 = 2 + nraiz2 cdot raizn^2 + 5 , temos:
raiz32 cdot raiz2 cdot raizn^2 + 5 = 2 + n
Vamos simplificar:
raiz62 cdot raizn^2 + 5 = 2 + n
Multiplicando ambos os lados por (raiz62)^2 (n^2 + 5) = (2 + n)^2 :
64 (n^2 + 5) = n^2 + 4n + 4 implies 32(n^2 + 5) = n^2 + 4n + 4
Simplificando 3n^2 + 15 = 2n^2 + 8n + 8 :
n^2 + 15 = 8n + 8 implies n^2 - 8n + 7 = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
n = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Calculando:
n = 8 + 62 = 7 ou n = 8 - 62 = 1
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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