Determinar o valor de
para que seja de
a medida do ângulo entre as retas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre as duas retas dadas seja
radianos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar os vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta
está dada na forma simétrica:
Aqui, os denominadores 4, 5 e 3 representam as componentes do vetor diretor da reta
, ou seja,
.
A reta
está definida por um sistema de equações:
Podemos reescrever essas equações em termos de
:
Então, o vetor diretor da reta
é
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo
entre dois vetores
e
:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são os módulos dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar:
Módulo de
:
Módulo de
:
Passo 4
Sabemos que o ângulo entre as retas deve ser
radianos. Então, substituímos na fórmula:
Sabendo que
, temos:
Vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
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Calcule
.
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Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Mostre que os polinômios
.