Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os polinômios , e geram . Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 com coeficientes reais pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender de combinação linear e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2. Ou seja, qualquer polinômio em pode ser escrito como , onde , e são números reais.
Passo 3
Nossa meta é encontrar coeficientes , e tais que:
Vamos expandir a expressão à esquerda:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
Temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -beta + 2(b - alpha) = c -beta + 2b - 2alpha = c beta = 2b - 2alpha - c .
Substituindo alpha + (2b - 2alpha - c) = a - alpha + 2b - c = a alpha = 2b - c - a na terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, .
E .
Passo 6
Assim, encontramos que os coeficientes , e existem para quaisquer , e reais, o que mostra que qualquer polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios dados.