Mostre que os polinômios 1+t, 1-t^2, t+2 t^2 >=ram P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os polinômios , e geram . Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 com coeficientes reais pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender de combinação linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau até 2. Ou seja, qualquer polinômio em pode ser escrito como , onde , e são números reais.

Passo 3

Nossa meta é encontrar coeficientes alpha(1 + t) + beta(1 - t^2) + gamma(t + 2t^2) = a + bt + ct^2 , alpha + alpha t + beta - beta t^2 + gamma t + 2gamma t^2 e (alpha + beta) + (alpha + gamma)t + (-beta + 2gamma)t^2 tais que:
Vamos expandir a expressão à esquerda:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
alpha + beta = a alpha + gamma = b -beta + 2gamma = c
Temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: -beta + 2(b - alpha) = c -beta + 2b - 2alpha = c beta = 2b - 2alpha - c .
  2. Substituindo alpha + (2b - 2alpha - c) = a - alpha + 2b - c = a alpha = 2b - c - a na terceira equação:
  1. Substituindo na primeira equação:
  1. Agora, .
  2. E .

Passo 6

Assim, encontramos que os coeficientes , e existem para quaisquer , e reais, o que mostra que qualquer polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios dados.

Resposta

Portanto, os polinômios , e geram .

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