Determinar o valor de a para que o Sistema
lx+2 y+a z=1 2 x+a y+8 z=3 x=1
Tenha:
c) Mais de uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações com três variáveis x + 2y + a z = 1 2x + a y + 8 z = 3 x = 1 , e :
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha mais de uma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados à sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, já que 1 + 2y + a z = 1 2(1) + a y + 8 z = 3 está diretamente definido, vamos substituir esse valor nas outras duas equações para simplificar o sistema. Substituindo 2y + a z = 0 a y + 8 z = 1 :
Simplificando essas equações:
Agora temos um sistema com duas equações e duas variáveis ( e ).

Passo 3

Para que o sistema tenha mais de uma solução, ele precisa ter infinitas soluções, o que acontece quando as duas equações são dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra, e o sistema é consistente.
Isso ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero. A matriz dos coeficientes é:
2 & a a & 8
O determinante dessa matriz é calculado por:
det = (2)(8) - (a)(a) = 16 - a^2
Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que:
16 - a^2 = 0 implies a^2 = 16 implies a = pm 4

Passo 4

Agora, vamos verificar se para 2y + 4z = 0 4y + 8z = 1 ou 2y - 4z = 0 -4y + 8z = 1 o sistema é realmente consistente.
Para :
As equações ficam:
A segunda equação é o dobro da primeira, mas o lado direito não é zero ( ). Isso significa que as equações são inconsistentes, ou seja, não têm solução.
Para :
As equações ficam:
A segunda equação é vezes a primeira, mas novamente o lado direito não é zero ( ). Novamente, as equações são inconsistentes.

Passo 5

Como vimos, para e , o sistema se torna inconsistente, ou seja, não há solução. Portanto, não existe nenhum valor de que faça com que o sistema tenha mais de uma solução.

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne o sistema com mais de uma solução.

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