Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
l x+y-z=1 2 x+3 y+a z=3 x+a y+3 z=2
Tenha:
c) Solução única.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro a. O objetivo é descobrir quais valores de a fazem com que esse sistema tenha uma solução única. Para isso, vamos utilizar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única (quando o determinante é diferente de zero).
Para uma matriz 3 times 3, o determinante ( det(A)) pode ser calculado assim:
det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - a cdot a) - 1 cdot (2 cdot 3 - a cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot a - 3 cdot 1)
Simplificando passo a passo:
  1. Calcular cada parte:
    • 1 cdot (9 - a^2) = 9 - a^2
    • -1 cdot (6 - a) = -6 + a
    • -1 cdot (2a - 3) = -2a + 3
  2. Somar todas as partes:
det(A) = (9 - a^2) + (-6 + a) + (-2a + 3) = 6 - a - a^2

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante não pode ser zero:
6 - a - a^2 neq 0
Vamos resolver a equação associada para encontrar os valores de a que NÃO satisfazem a condição de solução única:
a^2 + a - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
a = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Portanto:
  • a = 2
  • a = -3

Passo 5

Assim, o sistema não tem solução única quando a = 2 ou a = -3. Em todos os outros valores de a, o determinante é diferente de zero, garantindo uma solução única.

Resposta

Os valores de a que fazem o sistema ter solução única são todos os números reais exceto a = 2 e a = -3.

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lx+2 y+a z=1 2 x+a y+8 z=3 x=1
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c) Mais de uma solução.
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