Determine os valores de , de modo que o Sistema Linear
Tenha:
c) Solução única.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro a. O objetivo é descobrir quais valores de a fazem com que esse sistema tenha uma solução única. Para isso, vamos utilizar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única (quando o determinante é diferente de zero).
Para uma matriz 3 times 3, o determinante (det(A)) pode ser calculado assim:
det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - a cdot a) - 1 cdot (2 cdot 3 - a cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot a - 3 cdot 1)
Simplificando passo a passo:
Calcular cada parte:
1 cdot (9 - a^2) = 9 - a^2
-1 cdot (6 - a) = -6 + a
-1 cdot (2a - 3) = -2a + 3
Somar todas as partes:
det(A) = (9 - a^2) + (-6 + a) + (-2a + 3) = 6 - a - a^2
Passo 4
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante não pode ser zero:
6 - a - a^2 neq 0
Vamos resolver a equação associada para encontrar os valores de a que NÃO satisfazem a condição de solução única:
a^2 + a - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
a = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Portanto:
a = 2
a = -3
Passo 5
Assim, o sistema não tem solução única quando a = 2 ou a = -3. Em todos os outros valores de a, o determinante é diferente de zero, garantindo uma solução única.
Resposta
Os valores de a que fazem o sistema ter solução única são todos os números reais excetoa = 2 e a = -3.