Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço
que é o conjunto de todas as funções que vão de
para
. A questão fala sobre verificar se um certo conjunto
dentro de
é um subespaço. Para isso, a gente vai precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero deve estar em
. - Ser fechado sob adição: Se duas funções estão em
, a soma delas também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em
e a gente multiplica ela por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto
satisfaz essas condições.
1. Conter o vetor zero:
A função zero é aquela que para todo
,
. Vamos ver se essa função está em
.
Como isso é verdadeiro para todo
, a função zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções
e
que estão em
. Isso significa que:
Queremos ver se
também está em
.
Então, a soma de
e
também satisfaz a condição, ou seja,
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função
em
e um escalar
. Precisamos verificar se
está em
.
Portanto,
também satisfaz a condição, ou seja,
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.