Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W6=f in V ; f(-x)=f(x), forall x in R.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço que é o conjunto de todas as funções que vão de para . A questão fala sobre verificar se um certo conjunto dentro de é um subespaço. Para isso, a gente vai precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero deve estar em .
  2. Ser fechado sob adição: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em e a gente multiplica ela por um número real, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar se o conjunto f(-x) = 0 = f(x) satisfaz essas condições.
1. Conter o vetor zero:
A função zero é aquela que para todo , . Vamos ver se essa função está em .
Como isso é verdadeiro para todo , a função zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções f(-x) = f(x) e g(-x) = g(x) e (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) que estão em . Isso significa que:
Queremos ver se também está em .
Então, a soma de e também satisfaz a condição, ou seja, .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função (alpha cdot f)(-x) = alpha cdot f(-x) = alpha cdot f(x) = (alpha cdot f)(x) em e um escalar . Precisamos verificar se está em .
Portanto, também satisfaz a condição, ou seja, .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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