Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de . .
Passo 1
Então, a gente tem um espaço que é o conjunto de todas as funções que vão de para . A questão fala sobre verificar se um certo conjunto dentro de é um subespaço. Para isso, a gente vai precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
Conter o vetor zero: Ou seja, a função que sempre dá zero deve estar em .
Ser fechado sob adição: Se duas funções estão em , a soma delas também deve estar em .
Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em e a gente multiplica ela por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto satisfaz essas condições.
1. Conter o vetor zero:
A função zero é aquela que para todo , . Vamos ver se essa função está em .
Como isso é verdadeiro para todo , a função zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções e que estão em . Isso significa que:
Queremos ver se também está em .
Então, a soma de e também satisfaz a condição, ou seja, .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função em e um escalar . Precisamos verificar se está em .