Neste exercício, trabalharemos com sistemas de equações lineares, utilizando métodos de eliminação para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar a eliminação de uma das variáveis. Vamos focar em eliminar 3 times (2x + y + 2z) = 3 times 3 2 times (3x - 2y - 8z) = 2 times 0 -x + 2y + 4z = 1 .
Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 2, de modo que os coeficientes de 6x + 3y + 6z = 9 6x - 4y - 16z = 0 -x + 2y + 4z = 1 fiquem iguais:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (6x + 3y + 6z) - (6x - 4y - 16z) = 9 - 0 :
7y + 22z = 9
Simplificando:
7y + 22z = 9 (Equação 4)
Agora temos uma nova equação simplificada:
çã
Passo 4
Vamos agora eliminar 6 times (-x + 2y + 4z) = 6 times 1 usando a terceira equação. Para isso, multiplicamos a terceira equação por 6 para que o coeficiente de -6x + 12y + 24z = 6 seja -6, igualando ao 6x das primeiras equações:
(2x + y + 2z) + (-6x + 12y + 24z) = 3 + 6
Isso resulta em:
-4x + 13y + 26z = 9
Agora, somamos essa equação com a primeira equação original (2x + y + 2z = 3):
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos duas novas equações sem 7y + 22z = 9 (Equação 4) -4x + 13y + 26z = 9 (Equação 5) :
7y + 22z = 9 Rightarrow y = 9 - 22z7 çãçã
Para resolver, vamos isolar uma das variáveis. A Equação 4 já está relativamente simples, então vamos resolver para :
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
-28x + 117 - 286z + 182z = 63
Simplificando:
-28x - 104z = -54
14x + 52z = 27
Dividindo por -2 para simplificar:
Passo 7
Agora, temos a equação:
14x + 52z = 27
Vamos resolver para 14x = 27 - 52z Rightarrow x = 27 - 52z14 :
Passo 8
Agora que temos 7y + 22z = 9 e 7(9 - 22z7) + 22z = 9 Rightarrow 9 - 22z + 22z = 9 em termos de 9 = 9 , vamos escolher um valor para x = 27 - 52z14 y = 9 - 22z7 z = z que satisfaça todas as equações. No entanto, para manter a consistência, podemos usar as expressões para encontrar valores específicos.
Vamos assumir uma das equações para resolver o valor de . Usando a Equação 4:
Substituindo :
Isso simplifica para:
Isso significa que a equação é válida para qualquer . Portanto, o sistema possui infinitas soluções dependendo do valor de . Podemos expressar as soluções em termos de :
Resposta
As soluções do sistema são infinitas e podem ser expressas em termos de x = dfrac27 - 52z14 y = dfrac9 - 22z7 z = z da seguinte forma: