Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
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Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema e classificar se ele é determinado (com uma solução única), indeterminado (com infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Para isso, vamos usar técnicas de substituição e eliminação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar pela primeira equação do sistema:
3z = 9
Essa equação é simples e podemos resolvê-la diretamente para encontrar o valor de z = 93 Rightarrow z = 3 . Para isso, dividimos ambos os lados por 3:
Agora sabemos que .
Passo 3
Com o valor de x + 5y - z = 2 encontrado, vamos substituir x + 5y - 3 = 2 na segunda equação do sistema:
x + 5y = 5
Substituindo :
Agora, somamos 3 em ambos os lados para isolar :
Essa é a nossa segunda equação simplificada.
Passo 4
Vamos agora trabalhar com a terceira equação do sistema:
13x + 2y = 3
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 3 para eliminar a fração:
x + 6y = 9
Agora temos duas equações com x + 5y = 5 x + 6y = 9 e :
Passo 5
Para encontrar o valor de (x + 6y) - (x + 5y) = 9 - 5 , vamos subtrair a primeira equação da segunda:
y = 4
Isso simplifica para:
Agora sabemos que .
Passo 6
Com o valor de x + 5y = 5 encontrado, vamos substituir x + 5(4) = 5 Rightarrow x + 20 = 5 na primeira equação simplificada:
x = -15
Substituindo:
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Agora temos .
Resposta
As soluções do sistema são:
x = -15, y = 4, z = 3
O sistema é determinado, pois possui uma única solução.