Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
Tenham:
Nenhuma solução.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um Sistema Linear composto por três equações:
x + a z = 0 y = 0 a x + z = 0
O objetivo é determinar o valor de que faz com que esse sistema não tenha nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, como consistência e o que significa um sistema não ter solução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a segunda equação já nos dá diretamente que x + a z = 0 (1) a x + z = 0 (2) . Isso simplifica nosso sistema para duas equações com duas incógnitas ( e ):
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações. Podemos usar o método de substituição ou o método de eliminação. Vamos optar pela substituição para facilitar.
Da equação (1), podemos isolar x = -a z :
Passo 4
Em seguida, substituímos esse valor de a(-a z) + z = 0 na equação (2):
- a^2 z + z = 0
Simplificando:
z(-a^2 + 1) = 0
Fatorando :
Passo 5
A partir dessa equação, temos duas possibilidades:
que simplifica para , ou seja,
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: Se , então da equação , temos . Assim, a solução seria , que é uma solução única.
Caso 2: Se ( ou ), a equação se torna , o que é sempre verdadeiro. Isso significa que as duas equações iniciais se tornam dependentes e o sistema tem infinitas soluções.
Passo 6
Agora, voltando ao que o exercício pede: encontrar o valor de que faz com que o sistema não tenha nenhuma solução. Observando os casos acima:
Para qualquer diferente de , temos uma solução única.
Para , temos infinitas soluções.
Não há nenhum valor de que faça o sistema não ter solução. O sistema sempre terá ou uma solução única ou infinitas soluções, dependendo do valor de .
Resposta
Não existe nenhum valor de que faça o sistema não ter solução.