Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
la x+y+z=1 x+a y+z=1 x+y+a z=1
Tenham:
Solução única.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A gente quer descobrir quais valores de fazem com que esse sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos usar umas paradas de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das variáveis no sistema. Ficaria assim:
a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a

Passo 3

Agora, pra ter uma única solução, essa matriz precisa ter um determinante diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1)
Simplificando isso:
det = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2

Passo 5

Para o sistema ter uma solução única, o determinante precisa ser diferente de zero:
a^3 - 3a + 2 neq 0
Vamos resolver a equação:
a^3 - 3a + 2 = 0

Passo 6

Vamos fatorar o polinômio:
(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0
Continuando a fatoração:
(a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Então, as soluções são e .

Passo 7

Portanto, o sistema terá uma solução única para todos os valores de exceto quando ou .

Resposta

O sistema tem solução única para todo valor de onde e .

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