Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
Tenham:
Solução única.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A gente quer descobrir quais valores de fazem com que esse sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos usar umas paradas de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das variáveis no sistema. Ficaria assim:
a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a
Passo 3
Agora, pra ter uma única solução, essa matriz precisa ter um determinante diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1)
Simplificando isso:
det = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2
Passo 5
Para o sistema ter uma solução única, o determinante precisa ser diferente de zero:
a^3 - 3a + 2 neq 0
Vamos resolver a equação:
a^3 - 3a + 2 = 0
Passo 6
Vamos fatorar o polinômio:
(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0
Continuando a fatoração:
(a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Então, as soluções são e .
Passo 7
Portanto, o sistema terá uma solução única para todos os valores de exceto quando ou .
Resposta
O sistema tem solução única para todo valor de onde e .