Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos sistemas (método de Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
d) l2 x+z+w=5 y-w=-1 3 x-z-w=0 4 x+y+2 z+w=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jordan, que basicamente transforma o sistema em uma forma mais fácil de resolver, tipo uma escada. O sistema que temos é:
2x + z + w = 5 y - w = -1 3x - z - w = 0 4x + y + 2z + w = 9
Para isso, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e aplicar operações para simplificar. Vamos precisar conhecer as operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
2 & 0 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1 3 & 0 & -1 & -1 & | & 0 4 & 1 & 2 & 1 & | & 9
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , , e o termo constante.

Passo 3

Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira coluna em 1. Para isso, podemos dividir a primeira linha por 2:
1 & 0 & 0.5 & 0.5 & | & 2.5 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1 3 & 0 & -1 & -1 & | & 0 4 & 1 & 2 & 1 & | & 9

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 - 3*1 = 0, 0 - 3*0 = 0, -1 - 3*0.5 = -2.5, -1 - 3*0.5 = -2.5, 0 - 3*2.5 = -7.5 das outras linhas usando a primeira linha. Para a terceira linha, fazemos:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1:
4 - 4*1 = 0, 1 - 4*0 = 1, 2 - 4*0.5 = 0, 1 - 4*0.5 = -1, 9 - 4*2.5 = -1
E para a quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 4 * Linha1:
1 & 0 & 0.5 & 0.5 & | & 2.5 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1 0 & 0 & -2.5 & -2.5 & | & -7.5 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1
A matriz fica:

Passo 5

Observamos que a segunda e a quarta linhas são iguais. Vamos eliminar a quarta linha:
Linha4 = Linha4 - Linha2:
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 0 - 0 = 0, -1 - (-1) = 0, -1 - (-1) = 0
Agora, a matriz fica:
1 & 0 & 0.5 & 0.5 & | & 2.5 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1 0 & 0 & -2.5 & -2.5 & | & -7.5 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por -2.5:
Então, a matriz atualizada é:
0 & 0 & 1 & 1 & | & 3

Passo 7

Agora, usamos a terceira linha para eliminar o 1 - 0.5*0 = 1, 0 - 0.5*0 = 0, 0.5 - 0.5*1 = 0, 0.5 - 0.5*1 = 0, 2.5 - 0.5*3 = 1 da primeira linha. Fazemos:
Linha1 = Linha1 - 0.5 * Linha3:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 1 0 & 1 & 0 & -1 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 3 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz fica:

Passo 8

Agora, resolvemos as equações correspondentes:
  • Da primeira linha:
  • Da segunda linha: ou
  • Da terceira linha: ou
Aqui, vemos que a variável é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real.

Passo 9

Então, podemos expressar as soluções em termos de x = 1 y = w - 1 z = 3 - w w = w :
Isso significa que existem infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

O sistema possui infinitas soluções e é classificado como possível indeterminado. As soluções são dadas por:
x = 1 y = w - 1 z = 3 - w w é qualquer número real éú

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