Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P2(R): W=p(x)=a+b x+c x^2 ; c=a+b]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto W = p(x) = a + b x + c x^2 ; c = a + b é um subespaço vetorial do espaço das polinômios de grau no máximo 2, representado por . O conjunto é definido como:
Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Basicamente, um subespaço vetorial precisa:
  1. Contemplar o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em c = a + b Rightarrow 0 = 0 + 0 Rightarrow 0 = 0 (Válido) . O vetor zero em é o polinômio . Vamos ver se ele pertence a :
á
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se p1(x) + p2(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x + (c1 + c2)x^2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios qualquer da c1 + c2 = (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) , a soma deles também deve estar em .
Sejam e , onde e .
A soma deles é:
Agora, precisamos verificar se :
Isso confirma que a soma também satisfaz , ou seja, pertence a .

Passo 4

Por último, vamos verificar se lambda p(x) = lambda a + lambda b x + lambda c x^2 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um polinômio qualquer de lambda c = lambda (a + b) = lambda a + lambda b e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em .
Seja , com . Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Portanto, também satisfaz e pertence a .

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados