Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço das polinômios de grau no máximo 2, representado por
. O conjunto
é definido como:
Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Basicamente, um subespaço vetorial precisa:
- Contemplar o vetor zero.
- Ser fechado sob adição de vetores.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos ver se ele pertence a
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios qualquer da
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
, onde
e
.
A soma deles é:
Agora, precisamos verificar se
:
Isso confirma que a soma também satisfaz
, ou seja,
pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um polinômio qualquer de
e multiplicarmos por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Seja
, com
. Multiplicando por
:
Precisamos verificar se
:
Portanto,
também satisfaz
e pertence a
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.