Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P2(R): W=p(x)=a+b x+c x^2 ; a=c=0] ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto W é um subespaço vetorial de P2(R). A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial: ter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é P2(R). Esse conjunto é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Ou seja, cada polinômio nesse conjunto tem a forma p(x) = a + b x + c x^2, onde a, b e c são números reais.

Passo 3

Agora, vamos ver o que define o conjunto W. Pelo enunciado, W = p(x) = a + b x + c x^2 ; ; ; a = c = 0 . Isso significa que, em W, os coeficientes a e c são sempre zero. Então, qualquer polinômio em W tem a forma p(x) = b x.

Passo 4

Vamos verificar se o vetor zero está em W. O vetor zero em P2(R) é o polinômio p(x) = 0 + 0x + 0x^2 = 0. Como na W temos a = 0 e c = 0, esse polinômio pertence a W. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar se W é fechada sob adição. Pegue dois polinômios qualquer em W: p(x) = b1x e q(x) = b2x. Se somarmos esses dois, teremos p(x) + q(x) = (b1 + b2)x. Como a = 0 e c = 0 permanecem, o resultado está novamente em W. Portanto, W é fechada sob adição.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se W é fechada sob multiplicação por escalar. Pegue um polinômio p(x) = bx em W e um escalar k in R. Multiplicando, temos k cdot p(x) = k cdot bx = (kb)x. Novamente, a = 0 e c = 0 permanecem, então k cdot p(x) também está em W. Assim, W é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de P2(R).

Exercícios relacionados