Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial: ter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Ou seja, cada polinômio nesse conjunto tem a forma
, onde
,
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos ver o que define o conjunto
. Pelo enunciado,
. Isso significa que, em
, os coeficientes
e
são sempre zero. Então, qualquer polinômio em
tem a forma
.
Passo 4
Vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Como na
temos
e
, esse polinômio pertence a
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é fechada sob adição. Pegue dois polinômios qualquer em
:
e
. Se somarmos esses dois, teremos
. Como
e
permanecem, o resultado está novamente em
. Portanto,
é fechada sob adição.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se
é fechada sob multiplicação por escalar. Pegue um polinômio
em
e um escalar
. Multiplicando, temos
. Novamente,
e
permanecem, então
também está em
. Assim,
é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.