Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
lx+a z=0 y=0 a x+z=0
Tenham:
Mais de uma solução.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y e z). Queremos descobrir o valor de a para que esse sistema tenha mais de uma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que ajudam a entender quando um sistema linear tem soluções únicas ou infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o cálculo do determinante, que é a chave para saber se o sistema tem soluções infinitas.

[
1 & 0 & a 0 & 1 & 0 a & 0 & 1 x y z = 0 0 0


]

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa, o que significa que o sistema tem infinitas soluções.
O determinante da matriz é calculado assim:
det = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 1 - a cdot a) + a cdot (0 cdot 0 - 1 cdot a)
Simplificando:
det = 1 cdot 1 - 0 cdot (0 - a^2) + a cdot (0 - a) = 1 - a^2

Passo 4

Para que o sistema tenha mais de uma solução, o determinante deve ser igual a zero:
1 - a^2 = 0
Resolvendo a equação:
a^2 = 1 a = pm 1

Resposta

Os valores de a que fazem o sistema ter mais de uma solução são a = 1 e a = -1.

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