Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P2(R): W=p(x)=a+b x+c x^2 ; c >= 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz três condições básicas de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio . Aqui, o coeficiente , que satisfaz . Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechada sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer de , a soma deles também deve estar em . Suponha e onde e . A soma é . O coeficiente de na soma é . Como e , então . Portanto, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechada sob multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer polinômio em e qualquer escalar , o polinômio também deve estar em . O coeficiente de na multiplicação é . Aqui, temos que para estar em .
Mas atenção! Se for negativo e , então , o que não satisfaz a condição . Por exemplo, se escolhermos e , teremos , o que não está em .

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

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