Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições básicas de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Aqui, o coeficiente
, que satisfaz
. Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechada sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
. Suponha
e
onde
e
. A soma é
. O coeficiente de
na soma é
. Como
e
, então
. Portanto, a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechada sob multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer polinômio
em
e qualquer escalar
, o polinômio
também deve estar em
. O coeficiente de
na multiplicação é
. Aqui, temos que
para estar em
.
Mas atenção! Se
for negativo e
, então
, o que não satisfaz a condição
. Por exemplo, se escolhermos
e
, teremos
, o que não está em
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não é fechado sob multiplicação por escalar.