Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos sistemas (método de Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento de matrizes, que faz parte da álgebra linear. Primeiro, a gente precisa transformar as equações em uma matriz aumentada e depois aplicar o método de Gauss-Jordan para chegar à solução. Vamos precisar manipular linhas da matriz para simplificar e encontrar os valores de , e .
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema como uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma das equações:
Aqui, os números antes da barra vertical são os coeficientes das variáveis , e , e os números depois da barra são os termos constantes.
Passo 3
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos isolar uma variável de cada vez. Primeiro, vamos garantir que o primeiro elemento da primeira linha seja 1 para facilitar. Podemos dividir a primeira linha por 3:
Agora, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na coluna de Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 Rightarrow 1-1=0, -1-0=-1, 3-13=83, 4-73=53 . Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linhas:
Para a segunda linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1 Rightarrow 1-1=0, 2-0=2, -5-13=-163, -1-73=-103
Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na coluna de Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 2 Rightarrow 0-0=0, 2-2=0, -163 - 2 times (-83)=0, -103 - 2 times (-53)=0 . Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Observamos que a terceira linha resultou em , o que indica que uma das equações não adiciona nova informação ao sistema. Isso significa que temos infinitas soluções, pois uma das variáveis fica livre para assumir qualquer valor.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, sendo classificado como possível indeterminado.