Mostre que o conjunto S=f / f(x)=-f(-x), das funções ímpares, é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto , que são as funções ímpares, é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções. Isso está relacionado a Álgebra Linear, especificamente ao conceito de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz os três critérios de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o conjunto f(x) = 0 contém o vetor zero. No contexto das funções, o vetor zero é a função que atribui zero para todo f(-x) = 0 , ou seja, -f(-x) = -0 = 0 . Vamos ver se essa função é ímpar:
Como também é , a função zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(x) = -f(-x) é fechado para a adição. Isso significa que, se g(x) = -g(-x) e (f + g)(x) = f(x) + g(x) são funções ímpares em (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) , então também deve ser ímpar e estar em .
Sabendo que e são ímpares:
Vamos somar as duas funções:
Assim, também satisfaz , então é ímpar e está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se f(x) = -f(-x) está em (c cdot f)(x) = c cdot f(x) e (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = -(c cdot f)(x) é um escalar, então também deve estar em .
Se é ímpar:
Multiplicando por :
Portanto, também satisfaz , então está em .

Resposta

Assim, verificamos que o conjunto das funções ímpares satisfaz todos os critérios de um subespaço vetorial. Portanto, é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções.

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