Mostre que o conjunto
, das funções ímpares, é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
, que são as funções ímpares, é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções. Isso está relacionado a Álgebra Linear, especificamente ao conceito de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz os três critérios de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o conjunto
contém o vetor zero. No contexto das funções, o vetor zero é a função que atribui zero para todo
, ou seja,
. Vamos ver se essa função é ímpar:
Como
também é
, a função zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para a adição. Isso significa que, se
e
são funções ímpares em
, então
também deve ser ímpar e estar em
.
Sabendo que
e
são ímpares:
Vamos somar as duas funções:
Assim,
também satisfaz
, então
é ímpar e está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se
está em
e
é um escalar, então
também deve estar em
.
Se
é ímpar:
Multiplicando por
:
Portanto,
também satisfaz
, então
está em
.
Resposta
Assim, verificamos que o conjunto
das funções ímpares satisfaz todos os critérios de um subespaço vetorial. Portanto,
é um subespaço vetorial do espaço vetorial das funções.