Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de
e
:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa expressar o polinômio
como uma combinação linear de três outros polinômios:
Isso significa que vamos encontrar coeficientes
tais que:
Para resolver isso, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação completa substituindo os polinômios:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 3
Vamos agrupar os termos semelhantes (os termos com
,
e
):
Agora, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, da equação 1:
Agora, substituímos
nas equações 2 e 3.
Substituindo na equação 2:
Substituindo na equação 3:
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-
(Equação 4) -
(Equação 5)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 5 por 1.5 para facilitar a eliminação:
Multiplicando Equação 5 por 1.5:
Agora, somamos Equação 4 e Equação 6:
Passo 6
Com
, vamos encontrar
usando a Equação 4:
Agora, usamos
e
para encontrar
na equação que havíamos encontrado anteriormente:
Resposta
Os coeficientes são
,
e
. Portanto, o polinômio
pode ser escrito como: