Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2: x-2 x^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa expressar o polinômio p1(x) = 2 + x + 4x^2, p2(x) = 1 - x + 3x^2, p3(x) = 3 + 2x + 5x^2 como uma combinação linear de três outros polinômios:
a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = x - 2x^2
Isso significa que vamos encontrar coeficientes tais que:
Para resolver isso, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação completa substituindo os polinômios:
a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2) = x - 2x^2
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
2a + a x + 4a x^2 + b + (-b) x + 3b x^2 + 3c + 2c x + 5c x^2 = x - 2x^2

Passo 3

Vamos agrupar os termos semelhantes (os termos com (2a + b + 3c) + (a - b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x^2 = x - 2x^2 , e ):
Agora, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, da equação 1:
2a + b + 3c = 0 Rightarrow b = -2a -3c
Agora, substituímos a - (-2a -3c) + 2c = 1 Rightarrow a + 2a +3c + 2c = 1 Rightarrow 3a +5c = 1 (Equação 4) nas equações 2 e 3.
Substituindo na equação 2:
4a + 3(-2a -3c) +5c = -2 Rightarrow 4a -6a -9c +5c = -2 Rightarrow -2a -4c = -2 (Equação 5) çã
Substituindo na equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  1. -2a times 1.5 = -3a -4c times 1.5 = -6c -2 times 1.5 = -3 Rightarrow -3a -6c = -3 (Equação 6) (Equação 4)
  2. 3a +5c + (-3a -6c) = 1 + (-3) 0a -c = -2 -c = -2 Rightarrow c = 2 (Equação 5)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 5 por 1.5 para facilitar a eliminação:
Multiplicando Equação 5 por 1.5:
çã
Agora, somamos Equação 4 e Equação 6:

Passo 6

Com 3a +5(2) = 1 3a +10 = 1 3a = 1 -10 3a = -9 a = -3 , vamos encontrar b = -2a -3c = -2(-3) -3(2) = 6 -6 = 0 usando a Equação 4:
Agora, usamos e para encontrar na equação que havíamos encontrado anteriormente:

Resposta

Os coeficientes são -3 cdot p1(x) + 0 cdot p2(x) + 2 cdot p3(x) , e . Portanto, o polinômio pode ser escrito como:

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