Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método da matriz inversa. E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
c) l-2 x+6 y+4 z=4 3 x-2 y=-8 -x+3 y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante para ver se a matriz inversa existe, e então encontrar a solução. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = -2 & 6 & 4 3 & -2 & 0 -1 & 3 & 1 , X = x y z , B = 4 -8 1 , onde:
Aqui, é a matriz dos coeficientes das variáveis, é o vetor das incógnitas, e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe e podemos prosseguir. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = (-2) cdot [(-2)(1) - (0)(3)] - 6 cdot [(3)(1) - (0)(-1)] + 4 cdot [(3)(3) - (-2)(-1)]
Para a nossa matriz det(A) = (-2) cdot (-2) - 6 cdot (3) + 4 cdot (9 - 2) = 4 - 18 + 28 = 14 :
Vamos calcular cada parte:
Como , a matriz é invertível e o sistema tem uma solução única.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz inversa existe, vamos encontrá-la. A fórmula para a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é:
adj(A) = (-2)(1) - (0)(3) & -[(3)(1) - (0)(-1)] & (3)(3) - (-2)(-1) -[(6)(1) - (4)(3)] & (-2)(1) - (4)(-1) & -[(-2)(3) - (6)(-1)] (6)(0) - (4)(-2) & -[(-2)(0) - (4)(3)] & (-2)(-2) - (6)(3) ^T
Onde A^-1 = 114 cdot adj(A) é a adjunta de , que envolve calcular os cofatores da matriz.
Calculando os cofatores:
Após calcular os cofatores e transpor a matriz, obtemos .
Então,

Passo 5

Com a matriz inversa X = A^-1 cdot B calculada, podemos encontrar a solução multiplicando por :
Isso nos dará os valores de , e .

Passo 6

Após realizar as multiplicações, obtemos:
x = 2, y = -1, z = 3

Resposta

A solução do sistema é , e . O sistema é determinado, pois possui uma única solução.

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