Determinar os valores das constantes e para que a função seja derivável em .

Passo 1

Resumo do problema: Precisamos encontrar os valores das constantes e para que a função definida por partes seja derivável em . Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade, garantindo que tanto os valores das funções quanto suas derivadas coincidam nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de .
Para :
Então, .
Para :
Então, .
Igualando os valores para continuidade:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em .
Derivando para :
Então, .
Derivando para :
Então, .
Igualando as derivadas para derivabilidade:

Resposta

Substituindo na equação de continuidade:
Portanto, os valores das constantes são:

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Determine os valores de e de modo que a função definida por seja derivável em .
Seja a função dada por . Verifique se é derivável em
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: