Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.
Passo 1
Resumo do problema: Precisamos encontrar os valores das constantes
e
para que a função
definida por partes seja derivável em
. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade, garantindo que tanto os valores das funções quanto suas derivadas coincidam nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Igualando os valores para continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em
.
Derivando para
:
Então,
.
Derivando para
:
Então,
.
Igualando as derivadas para derivabilidade:
Resposta
Substituindo
na equação de continuidade:
Portanto, os valores das constantes são:
Exercícios relacionados
Determine os valores de
e
de modo que a função definida por
seja derivável em
.
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: