Determine os valores de
e
de modo que a função definida por
seja derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
para que a função
, que é definida de duas formas diferentes dependendo de
, seja derivável em
. Isso envolve conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, para a função ser derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
Quando
se aproxima de 2:
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela direita (
):
Quando
se aproxima de 2:
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, os dois limites devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 6
Agora, para a função ser derivável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais naquele ponto.
Primeiro, derivamos
para
:
Depois, derivamos
para
:
Quando
:
Passo 7
Igualando as derivadas:
Agora já temos o valor de
.
Passo 8
Voltando à primeira equação para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Seja
dada por
. Verifique se a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados: