Determine os valores de a e b de modo que a função definida por f(x) = { a*x + b, se x < 2; 2*x^2 - 1, se x ≥ 2 } seja derivável em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função , que é definida de duas formas diferentes dependendo de , seja derivável em . Isso envolve conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, para a função ser derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Quando se aproxima de 2:

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita ( ):
Quando se aproxima de 2:

Passo 5

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 6

Agora, para a função ser derivável em , as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais naquele ponto.
Primeiro, derivamos para :
Depois, derivamos para :
Quando :

Passo 7

Igualando as derivadas:
Agora já temos o valor de .

Passo 8

Voltando à primeira equação para encontrar :
Substituindo :

Resposta

Os valores são e .

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