Encontrar as derivada laterais no ponto x_0 indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: f(x) = |x - 1| + x^2, x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas laterais da função no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas laterais, que são as derivadas quando nos aproximamos do ponto pela esquerda e pela direita. Vamos usar definições de derivadas e propriedades das funções para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto pode ser escrito de forma diferente dependendo se é menor ou maior que 1:
  • Para , .
  • Para , .
Então, podemos reescrever a função de forma piecewise:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas laterais. A derivada lateral direita, , é a derivada quando nos aproximamos de 1 pela direita ( ), e a derivada lateral esquerda, , é a derivada quando nos aproximamos de 1 pela esquerda ( ).
Primeiro, vamos encontrar as expressões para em cada caso:
  • Para :
A derivada dessa parte é:
Então, avaliando em :
  • Para :
A derivada dessa parte é:
Então, avaliando em :

Resposta

As derivadas laterais no ponto são:

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