Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas laterais da função
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas laterais, que são as derivadas quando nos aproximamos do ponto pela esquerda e pela direita. Vamos usar definições de derivadas e propriedades das funções para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto
pode ser escrito de forma diferente dependendo se
é menor ou maior que 1:
- Para
, . - Para
, .
Então, podemos reescrever a função de forma piecewise:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas laterais. A derivada lateral direita,
, é a derivada quando nos aproximamos de 1 pela direita (
), e a derivada lateral esquerda,
, é a derivada quando nos aproximamos de 1 pela esquerda (
).
Primeiro, vamos encontrar as expressões para
em cada caso:
- Para
:
A derivada dessa parte é:
Então, avaliando em
:
- Para
:
A derivada dessa parte é:
Então, avaliando em
:
Resposta
As derivadas laterais no ponto
são:
Exercícios relacionados
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Seja
a função dada por
. Verifique se
é contínua em