Determine f'(x0), a derivada da função f em x_0, em cada item abaixo e nos pontos x_0 indicados: f(x) = x^2 / (x - 1), x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função no ponto . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do quociente. Se você tem uma função , a derivada é dada por:
Aqui, é o numerador e é o denominador da nossa função original.

Passo 3

No nosso caso, e . Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão no numerador, fatorando:
Portanto:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a derivada no ponto :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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