Determinar os valores de m e n, de modo que os planos pi1: 2 x+m y+3 z-5=0 e pi2: n x-6 y-6 z+2=0 sejam paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de m e n para que os planos e sejam paralelos. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço pode ser representado pela equação , onde , e são as coordenadas do vetor normal ao plano. Esse vetor normal é fundamental porque ele determina a orientação do plano no espaço.

Passo 3

Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se um vetor normal é um múltiplo escalar do outro. Isso significa que existe um número real (n, -6, -6) = k cdot (2, m, 3) tal que:

Passo 4

Vamos igualar as componentes dos vetores:
n = 2k -6 = m k -6 = 3k
A partir da terceira equação, podemos encontrar -6 = 3k Rightarrow k = -63 = -2 :

Passo 5

Agora, substituímos n = 2 cdot (-2) = -4 -6 = m cdot (-2) Rightarrow m = -6-2 = 3 nas outras equações para encontrar e :

Resposta

Os valores são e .

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