Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação da reta
. Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação à forma normal, que basicamente é uma forma padronizada que facilita identificar algumas propriedades da reta, como o comprimento do vetor normal e os ângulos directores desse vetor. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a forma normal. A forma normal de uma reta é dada por:
Aqui,
,
e
são os coeficientes da equação geral da reta
. Essa forma nos dá um vetor normal unitário à reta, ou seja, com comprimento 1.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa equação
. Identificamos:
Agora, vamos calcular o denominador
:
Passo 4
Com isso, substituímos os valores na forma normal:
Simplificando:
Essa é a forma normal da nossa equação.
Passo 5
Agora, vamos determinar o comprimento do vetor normal. Na forma normal, o vetor normal já é unitário, ou seja, tem comprimento 1. Mas originalmente, antes de normalizar, o vetor era
. Para confirmar:
Então, o comprimento do vetor normal original é 5.
Passo 6
Por último, os ângulos directores do vetor normal são os ângulos que ele faz com os eixos coordenados. Vamos achar o ângulo que esse vetor faz com o eixo
.
Usamos a tangente do ângulo:
Então:
Isso significa que o vetor normal faz um ângulo de aproximadamente
abaixo do eixo
.
Resposta
A equação reduzida à forma normal é
. O comprimento do vetor normal é 5 e os ângulos directores da normal são aproximadamente
em relação ao eixo
.