Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: d) 3 x-4 y-10=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação da reta . Nosso objetivo aqui é reduzir essa equação à forma normal, que basicamente é uma forma padronizada que facilita identificar algumas propriedades da reta, como o comprimento do vetor normal e os ângulos directores desse vetor. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma normal. A forma normal de uma reta é dada por:
araiza^2 + b^2x + braiza^2 + b^2y = craiza^2 + b^2
Aqui, , e são os coeficientes da equação geral da reta . Essa forma nos dá um vetor normal unitário à reta, ou seja, com comprimento 1.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa equação a = 3, b = -4, c = -10 . Identificamos:
raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Agora, vamos calcular o denominador :

Passo 4

Com isso, substituímos os valores na forma normal:
35x + -45y = -105
Simplificando:
35x - 45y = -2
Essa é a forma normal da nossa equação.

Passo 5

Agora, vamos determinar o comprimento do vetor normal. Na forma normal, o vetor normal já é unitário, ou seja, tem comprimento 1. Mas originalmente, antes de normalizar, o vetor era Comprimento = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = 5 . Para confirmar:
Então, o comprimento do vetor normal original é 5.

Passo 6

Por último, os ângulos directores do vetor normal são os ângulos que ele faz com os eixos coordenados. Vamos achar o ângulo que esse vetor faz com o eixo tan(theta) = ba = -43 .
Usamos a tangente do ângulo:
theta = arctan(-43) approx -53,13^circ
Então:
Isso significa que o vetor normal faz um ângulo de aproximadamente abaixo do eixo .

Resposta

A equação reduzida à forma normal é . O comprimento do vetor normal é 5 e os ângulos directores da normal são aproximadamente em relação ao eixo .

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