Determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada. z = x + 2y; no retângulo de vértices: (1, -2), (1, 2), (-1, 2), (-1, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função dentro de um retângulo que tem os vértices nas coordenadas , , e . Esse tipo de problema faz parte da matemática que estuda otimização de funções em regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a gente tem uma função linear, como é o caso de , os seus valores máximos e mínimos em uma região fechada geralmente estão nos vértices dessa região. Isso acontece porque uma função linear não tem “curvas”, então os pontos extremos costumam estar nos cantos do espaço que estamos analisando.

Passo 3

Então, para encontrar os valores máximo e mínimo de , a gente vai calcular o valor dessa função em cada um dos quatro vértices do retângulo. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Vértice (1, -2):
  2. Vértice (1, 2):
  3. Vértice (-1, 2):
  4. Vértice (-1, -2):

Passo 4

Agora que temos os valores de em todos os vértices, vamos comparar eles para ver qual é o maior e qual é o menor:
  • Vértice (1, -2):
  • Vértice (1, 2):
  • Vértice (-1, 2):
  • Vértice (-1, -2):
O maior valor de é 5 e o menor valor é -5.

Resposta

O valor máximo da função no retângulo dado é 5 e o valor mínimo é -5.

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