Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar métodos de resolução de equações lineares com coeficientes não constantes, como a Equação Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Uma equação de Cauchy-Euler tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
,
e
. Então, sim, nossa equação é uma equação de Cauchy-Euler.
Passo 3
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução na forma:
Onde
é um número que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando
e igualando a expressão a zero:
Como
, temos:
Simplificando a equação quadrática:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática para
:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, as soluções particulares são:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções particulares:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias. As soluções
e
são soluções fundamentais.