Teste a convergência ou divergência das séries
sum (-1)^nraizn-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de sequências e séries infinitas, especificamente sobre testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos: . Note que ela é uma série alternada porque o termo faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série sem considerar os sinais não convirja.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. é decrescente: .
  2. .
No nosso caso, .

Passo 4

Primeiro, verificamos se é decrescente. Observando , conforme aumenta, aumenta, então aumenta e, consequentemente, diminui. Portanto, é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty 1raizn-1 = limn to infty 1raizn = 0 quando tende ao infinito:
Então, .

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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