Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de sequências e séries infinitas, especificamente sobre testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
. Note que ela é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série sem considerar os sinais não convirja.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se:
-
é decrescente: . -
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, verificamos se
é decrescente. Observando
, conforme
aumenta,
aumenta, então
aumenta e, consequentemente,
diminui. Portanto,
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então,
.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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Determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.
; no retângulo de vértices:
.