Mostre que:
sumn=1^infty 1n(n+1)=1
sumn=1^infty n(n+1)!=1
Sugestão: Encontre as somas parciais S1, S2, S3, S4, ldots e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos n primeiros termos(Sn). Tome o limite n infty em Sn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que duas somas infinitas são iguais a 1:
sumn=1^infty 1n(n+1)=1
e
sumn=1^infty n(n+1)!=1
Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de frações. Vamos precisar entender como decompor frações e identificar padrões nas somas parciais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira soma:
sumn=1^infty 1n(n+1)
Primeiro, vamos simplificar a fração 1n(n+1). Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que permite expressar a fração como a diferença de duas frações mais simples.
A ideia é encontrar números A e B tais que:
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+1) + Bn
Expandindo:
1 = An + A + Bn = (A + B)n + A
Para que isso seja válido para todo n, os coeficientes das potências de n devem ser iguais dos dois lados. Então, temos:
A + B = 0 (coeficiente de n)
A = 1 (termo constante)
Resolvendo o sistema:
A = 1
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
Portanto:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Agora que expressamos 1n(n+1) como uma diferença de frações, vamos somar os termos da série:
sumn=1^N ( 1n - 1n+1 )
Vamos analisar os primeiros termos para identificar o padrão:
SN &= ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots + ( 1N - 1N+1 ) &= 1 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + cdots + 1N - 1N+1
Observe que a maioria dos termos se cancela:
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para encontrar o valor da soma infinita, vamos calcular o limite quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty ( 1 - 1N+1 ) = 1 - 0 = 1
Portanto:
sumn=1^infty 1n(n+1) = 1

Passo 5

Agora vamos resolver a segunda soma:
sumn=1^infty n(n+1)!
Primeiro, vamos entender o que é um fatorial: (n+1)! = (n+1) times n!. Assim, podemos reescrever a fração:
n(n+1)! = n(n+1) times n! = 1(n+1) times (n-1)!
Mas uma abordagem mais eficiente é reescrever a fração de forma que possamos identificar um padrão telescópico, semelhante à primeira soma.
Vamos notar que:
n(n+1)! = n+1 -1(n+1)! = n+1(n+1)! - 1(n+1)! = 1n! - 1(n+1)!

Passo 6

Agora, substituímos na soma:
sumn=1^N ( 1n! - 1(n+1)! )
Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
SN &= ( 11! - 12! ) + ( 12! - 13! ) + ( 13! - 14! ) + cdots + ( 1N! - 1(N+1)! ) &= 1 - 12 + 12 - 16 + 16 - 124 + cdots + 1N! - 1(N+1)!
Novamente, muitos termos se cancelam:
SN = 1 - 1(N+1)!

Passo 7

Para encontrar a soma infinita, calculamos o limite quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty ( 1 - 1(N+1)! ) = 1 - 0 = 1
Porque (N+1)! cresce muito rápido, fazendo 1(N+1)! tendendo a zero.
Portanto:
sumn=1^infty n(n+1)! = 1

Resposta

Mostramos que ambas as somas infinitas são iguais a 1:
sumn=1^infty 1n(n+1) = 1
e
sumn=1^infty n(n+1)! = 1

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