Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais
e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos
primeiros
. Tome o limite
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que duas somas infinitas são iguais a 1:
e
Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de frações. Vamos precisar entender como decompor frações e identificar padrões nas somas parciais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira soma:
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que permite expressar a fração como a diferença de duas frações mais simples.
A ideia é encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais dos dois lados. Então, temos:
Resolvendo o sistema:
Portanto:
Passo 3
Agora que expressamos
como uma diferença de frações, vamos somar os termos da série:
Vamos analisar os primeiros termos para identificar o padrão:
Observe que a maioria dos termos se cancela:
Passo 4
Para encontrar o valor da soma infinita, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Portanto:
Passo 5
Agora vamos resolver a segunda soma:
Primeiro, vamos entender o que é um fatorial:
. Assim, podemos reescrever a fração:
Mas uma abordagem mais eficiente é reescrever a fração de forma que possamos identificar um padrão telescópico, semelhante à primeira soma.
Vamos notar que:
Passo 6
Agora, substituímos na soma:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
Novamente, muitos termos se cancelam:
Passo 7
Para encontrar a soma infinita, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Porque
cresce muito rápido, fazendo
tendendo a zero.
Portanto:
Resposta
Mostramos que ambas as somas infinitas são iguais a 1:
e
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; no retângulo de vértices:
.
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© .
©
Um ponto
possui o terno ordenado
como coordenadas cartesianas. Dessa forma, o terno ordenado que representa esse mesmo ponto em coordenadas cilíndricas é
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)