Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para testarmos se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o teste de convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série alternada e aplicar o teste correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos se alternem entre positivo e negativo. Séries alternadas têm a forma
, onde
é uma sequência positiva.
Passo 3
Agora, vemos que
. Vamos simplificar
. Lembre-se que
é a raiz enésima de 2, que tende a 1 conforme
aumenta.
Passo 4
Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se:
-
é decrescente: . -
.
Vamos verificar essas duas condições.
Passo 5
Primeiro, vamos ver se
é decrescente. Calculando
e
. Como
,
, então
. Logo,
é decrescente.
Passo 6
Segundo, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite não é zero, a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.
Passo 7
Como o limite de
não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.
; no retângulo de vértices:
.
Mostre que:
Sugestão: Encontre as somas parciais
e use o padrão estabelecido para escrever uma fórmula para a soma parcial dos
primeiros
. Tome o limite
em
.