Teste a convergência ou divergência das séries
sum(-1)^n 2^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para testarmos se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o teste de convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série alternada e aplicar o teste correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é alternada porque o termo faz com que os sinais dos termos se alternem entre positivo e negativo. Séries alternadas têm a forma , onde é uma sequência positiva.

Passo 3

Agora, vemos que . Vamos simplificar . Lembre-se que é a raiz enésima de 2, que tende a 1 conforme aumenta.

Passo 4

Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. é decrescente: .
  2. .
Vamos verificar essas duas condições.

Passo 5

Primeiro, vamos ver se é decrescente. Calculando e . Como , , então . Logo, é decrescente.

Passo 6

Segundo, calculamos o limite de limn to infty 2^1/n = 2^0 = 1 quando tende ao infinito:
Como o limite não é zero, a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.

Passo 7

Como o limite de não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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