Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto
. Esboce o gráfico da região
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto compacto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar a função nas fronteiras da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Ela é definida por
e
. Isso significa que, para cada valor de
entre -2 e 2,
varia de -2 até o próprio
. Então,
é um triângulo no plano
com vértices em (-2, -2), (2, -2) e (2, 2).
Passo 3
Agora, vamos procurar os pontos críticos da função
dentro da região
. Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e as igualamos a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 4
Então, temos possíveis pontos críticos em
e
. Vamos verificar se esses pontos estão dentro da região
.
Para
:
-
está entre -2 e 2. -
deve ser menor ou igual a (1 ≤ 1), o que é verdadeiro.
Para
:
-
está entre -2 e 2. -
deve ser menor ou igual a (-1 ≤ -1), o que também é verdadeiro.
Então, ambos os pontos
e
estão dentro de
e são candidatos a extremos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função
nesses pontos críticos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Além dos pontos internos, precisamos avaliar a função nas bordas da região
para garantir que não haja valores maiores ou menores. As fronteiras de
são:
-
com -
com -
com
Vamos analisar cada uma delas.
Passo 7
Fronteira 1:
A função se torna:
Para encontrar extremos, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Calculando
nesses pontos:
-
: -
:
Também avaliamos nas extremidades de
:
-
: -
:
Passo 8
Fronteira 2:
A função se torna:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Calculando
nesses pontos:
-
: -
:
Também avaliamos nas extremidades de
:
-
: -
:
Passo 9
Fronteira 3:
A função se torna:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Calculando
nesses pontos:
-
: -
:
Também avaliamos nas extremidades de
:
-
: -
:
Passo 10
Agora, vamos resumir todos os valores encontrados:
-
Pontos Internos:
-
: -1 -
: 7
-
-
Fronteira 1 (
): -
: 3 -
: 7 -
: 7 -
: 3
-
-
Fronteira 2 (
): -
: -1 -
: 3 -
: 3 -
: -1
-
-
Fronteira 3 (
): -
: -1 -
: 7 -
: 7 -
: -1
-
Resposta
Os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
são:
- Máximo absoluto: 7
- Mínimo absoluto: -1
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Calcule:
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Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto
. Esboce o gráfico da região
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