Determine os valores máximos e mínimos absolutos das seguintes funções definidas no conjunto compacto . Esboce o gráfico da região . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto compacto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como encontrar pontos críticos e analisar a função nas fronteiras da região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela é definida por e . Isso significa que, para cada valor de entre -2 e 2, varia de -2 até o próprio . Então, é um triângulo no plano com vértices em (-2, -2), (2, -2) e (2, 2).

Passo 3

Agora, vamos procurar os pontos críticos da função dentro da região . Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 4

Então, temos possíveis pontos críticos em e . Vamos verificar se esses pontos estão dentro da região .
Para :
  • está entre -2 e 2.
  • deve ser menor ou igual a (1 ≤ 1), o que é verdadeiro.
Para :
  • está entre -2 e 2.
  • deve ser menor ou igual a (-1 ≤ -1), o que também é verdadeiro.
Então, ambos os pontos e estão dentro de e são candidatos a extremos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função nesses pontos críticos:
Para :
Para :

Passo 6

Além dos pontos internos, precisamos avaliar a função nas bordas da região para garantir que não haja valores maiores ou menores. As fronteiras de são:
  1. com
  2. com
  3. com
Vamos analisar cada uma delas.

Passo 7

Fronteira 1:
A função se torna:
Para encontrar extremos, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Calculando nesses pontos:
  • :
  • :
Também avaliamos nas extremidades de :
  • :
  • :

Passo 8

Fronteira 2:
A função se torna:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando nesses pontos:
  • :
  • :
Também avaliamos nas extremidades de :
  • :
  • :

Passo 9

Fronteira 3:
A função se torna:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando nesses pontos:
  • :
  • :
Também avaliamos nas extremidades de :
  • :
  • :

Passo 10

Agora, vamos resumir todos os valores encontrados:
  • Pontos Internos:
    • : -1
    • : 7
  • Fronteira 1 ( ):
    • : 3
    • : 7
    • : 7
    • : 3
  • Fronteira 2 ( ):
    • : -1
    • : 3
    • : 3
    • : -1
  • Fronteira 3 ( ):
    • : -1
    • : 7
    • : 7
    • : -1

Resposta

Os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto são:
  • Máximo absoluto: 7
  • Mínimo absoluto: -1

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