Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares: T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de valores próprios e vetores próprios para transformações lineares. A gente tem uma transformação linear definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são valores próprios e vetores próprios, além de como encontrá-los usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & 2 -1 & 4 como uma matriz. Em , toda transformação linear pode ser escrita como uma matriz de tamanho . Assim, para , a matriz correspondente é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz. Valores próprios são números det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade . Vamos calcular essa determinante.

Passo 4

Subtraímos A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda da diagonal principal de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (2)(-1) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2 :
A determinante dessa matriz é:

Passo 5

Vamos expandir a expressão:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Então, a determinante fica:
lambda^2 - 5lambda + 4 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 6

Agora, igualamos a determinante a zero para encontrar os valores próprios:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Então, os valores próprios são e .

Passo 7

Com os valores próprios encontrados, agora vamos determinar os vetores próprios correspondentes. Para cada A - 2I = 1 - 2 & 2 -1 & 4 - 2 = -1 & 2 -1 & 2 , resolvemos a equação , onde é o vetor próprio.
Primeiro, para :

Passo 8

Resolvemos o sistema:
-1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0
Isso reduz a uma única equação:
- v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow v1 = 2 v2
Podemos escolher v = 2 1 , então . Portanto, um vetor próprio para é:

Passo 9

Agora, para A - 3I = 1 - 3 & 2 -1 & 4 - 3 = -2 & 2 -1 & 1 :

Passo 10

Resolvemos o sistema:
-2 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 -1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0
Novamente, isso reduz a uma única equação:
-2 v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Podemos escolher v = 1 1 , então . Portanto, um vetor próprio para é:

Resposta

Os valores próprios são lambda = 2 Rightarrow v = 2 1 , lambda = 3 Rightarrow v = 1 1 e , com os respectivos vetores próprios:

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(xa+zc)(xa-zc)=(1+yb)(1-yb)
e prove que:
(d) H1 é uma superfície regrada.