Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de valores próprios e vetores próprios para transformações lineares. A gente tem uma transformação linear definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são valores próprios e vetores próprios, além de como encontrá-los usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Em , toda transformação linear pode ser escrita como uma matriz de tamanho . Assim, para , a matriz correspondente é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz. Valores próprios são números que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade . Vamos calcular essa determinante.
Passo 4
Subtraímos da diagonal principal de :
A determinante dessa matriz é:
Passo 5
Vamos expandir a expressão:
Então, a determinante fica:
Passo 6
Agora, igualamos a determinante a zero para encontrar os valores próprios:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, os valores próprios são e .
Passo 7
Com os valores próprios encontrados, agora vamos determinar os vetores próprios correspondentes. Para cada , resolvemos a equação , onde é o vetor próprio.
Primeiro, para :
Passo 8
Resolvemos o sistema:
Isso reduz a uma única equação:
Podemos escolher , então . Portanto, um vetor próprio para é:
Passo 9
Agora, para :
Passo 10
Resolvemos o sistema:
Novamente, isso reduz a uma única equação:
Podemos escolher , então . Portanto, um vetor próprio para é:
Resposta
Os valores próprios são e , com os respectivos vetores próprios: