Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada transformação linear em pode ser escrita como uma matriz tal que . No nosso caso:

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios (autovalores) de , precisamos resolver a equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores próprios:
Assim, os valores próprios são:

Passo 6

Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a é .

Resposta

Os valores próprios são e , com vetores próprios correspondentes e .

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Seja o espaço vetorial das matrizes de ordem 2, com entradas reais. Verifique se a aplicação , tal que
é uma transformação linear.
Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
, e verifique que é igual a
Seja . Considere a transformação linear , tal que e .
Calcule .