Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada transformação linear em pode ser escrita como uma matriz tal que . No nosso caso:
Passo 3
Agora, para encontrar os valores próprios (autovalores) de , precisamos resolver a equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores próprios:
Assim, os valores próprios são:
Passo 6
Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a é .
Resposta
Os valores próprios são e , com vetores próprios correspondentes e .