Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Cada transformação linear em
pode ser escrita como uma matriz
tal que
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, para encontrar os valores próprios (autovalores) de
, precisamos resolver a equação característica:
, onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores próprios:
Assim, os valores próprios são:
Passo 6
Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a
é
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Então, um vetor próprio associado a
é
.
Resposta
Os valores próprios são
e
, com vetores próprios correspondentes
e
.