Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares: T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação T: R^2 to R^2 definida por T(x, y) = (2x + 2y, x + 3y). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Cada transformação linear em R^2 pode ser escrita como uma matriz A tal que T(v) = Av. No nosso caso:
A = 2 & 2 1 & 3

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios (autovalores) de A, precisamos resolver a equação característica: det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.
A - lambda I = 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = (2cdot3 - 2lambda - 3lambda + lambda^2) - 2
Simplificando:
det(A - lambda I) = 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 para encontrar os valores próprios:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Assim, os valores próprios são:
lambda1 = 4 e lambda2 = 1

Passo 6

Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios. Para cada lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = 4:
A - 4I = -2 & 2 1 & -1
Resolvendo o sistema:
-2x + 2y = 0 Rightarrow -x + y = 0 Rightarrow y = x
Então, um vetor próprio associado a lambda1 = 4 é v1 = 1 1.
Para lambda2 = 1:
A - I = 1 & 2 1 & 2
Resolvendo o sistema:
x + 2y = 0 Rightarrow x = -2y
Então, um vetor próprio associado a lambda2 = 1 é v2 = -2 1.

Resposta

Os valores próprios são lambda1 = 4 e lambda2 = 1, com vetores próprios correspondentes v1 = 1 1 e v2 = -2 1.

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