Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
A=[cc 2 & 5 0 & 6 ] ; B=[cc 2 & 4 3 & 5 ] ; C=[cc 1 & 3 2 & 5 ] ; D=[cc 0 & 4 1 & 3 ]
(C otimes D)^-1, e verifique que é igual a C^-1 otimes D^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a inversa do produto de Kronecker de duas matrizes, ou seja, , e verificar se isso é igual ao produto de Kronecker das inversas das matrizes individuais, .
Para fazer isso, vamos precisar saber o que é o produto de Kronecker e como calcular a inversa de uma matriz. O produto de Kronecker combina duas matrizes em uma matriz maior de uma maneira específica, e a inversa de uma matriz é outra matriz que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz C = 1 & 3 2 & 5 . A matriz C^-1 = 1det(C) d & -b -c & a é dada por:
a = 1, b = 3, c = 2, d = 5
Para encontrar det(C) = (1)(5) - (3)(2) = 5 - 6 = -1 , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2:
C^-1 = 1-1 5 & -3 -2 & 1 = -5 & 3 2 & -1
Onde são os elementos da matriz :
Calculando o determinante de :
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz D = 0 & 4 1 & 3 . A matriz D^-1 = 1det(D) d & -b -c & a é:
a = 0, b = 4, c = 1, d = 3
Usando a mesma fórmula para a inversa:
det(D) = (0)(3) - (4)(1) = 0 - 4 = -4
Onde D^-1 = 1-4 3 & -4 -1 & 0 = -0.75 & 1 0.25 & 0 são os elementos de :
Calculando o determinante de :
Então,

Passo 4

Agora que temos C^-1 otimes D^-1 = -5 & 3 2 & -1 otimes -0.75 & 1 0.25 & 0 e -5 cdot -0.75 & 1 0.25 & 0 & 3 cdot -0.75 & 1 0.25 & 0 2 cdot -0.75 & 1 0.25 & 0 & -1 cdot -0.75 & 1 0.25 & 0 , vamos calcular o produto de Kronecker 3.75 & -5 & -2.25 & 3 -1.25 & 0 & -0.75 & 0 -1.5 & 2 & 0.75 & -1 0.75 & -1 & -0.25 & 0 .
O produto de Kronecker entre duas matrizes de dimensão e de dimensão resulta em uma matriz de dimensão , onde cada elemento de é substituído pela matriz .
Calculando :
Isso resulta em uma matriz :
Calculando cada bloco:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto de Kronecker C = 1 & 3 2 & 5 , D = 0 & 4 1 & 3 .
Matrizes:
1 cdot D & 3 cdot D 2 cdot D & 5 cdot D = 0 & 4 & 0 & 12 1 & 3 & 3 & 9 0 & 8 & 0 & 20 2 & 6 & 5 & 15
O produto será:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa de (C otimes D)^-1 = C^-1 otimes D^-1 , ou seja, C^-1 otimes D^-1 = 3.75 & -5 & -2.25 & 3 -1.25 & 0 & -0.75 & 0 -1.5 & 2 & 0.75 & -1 0.75 & -1 & -0.25 & 0 .
Para matrizes maiores, calcular a inversa diretamente pode ser complicado, mas existe uma propriedade importante: a inversa do produto de Kronecker é igual ao produto de Kronecker das inversas das matrizes individuais.
Ou seja,
Já sabemos que:
Portanto, esta matriz é .

Passo 7

Para verificar que C^-1 otimes D^-1 = 3.75 & -5 & -2.25 & 3 -1.25 & 0 & -0.75 & 0 -1.5 & 2 & 0.75 & -1 0.75 & -1 & -0.25 & 0 , comparamos os resultados obtidos:
Calculamos:
E sabemos, pela propriedade do produto de Kronecker, que isso é igual a .

Resposta

(C otimes D)^-1 = C^-1 otimes D^-1 = 3.75 & -5 & -2.25 & 3 -1.25 & 0 & -0.75 & 0 -1.5 & 2 & 0.75 & -1 0.75 & -1 & -0.25 & 0

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