Seja o espaço vetorial das matrizes de ordem 2, com entradas reais. Verifique se a aplicação , tal que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação , que pega uma matriz com entradas reais e retorna o seu determinante, é uma transformação linear. Vamos usar conceitos de Transformações Lineares e verificar as propriedades necessárias para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem satisfeitas:
Adição:
Homogeneidade:
No nosso caso, e , e a transformação é definida pelo determinante da matriz.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição da linearidade: se T(A + B) = T(A) + T(B) preserva a adição. Ou seja, queremos saber se
A = 1 & 0 0 & 1 , B = 1 & 0 0 & 1
Para duas matrizes A + B = 2 & 0 0 & 2 e T(A + B) = det 2 & 0 0 & 2 = 4 em T(A) + T(B) = det 1 & 0 0 & 1 + det 1 & 0 0 & 1 = 1 + 1 = 2 .
Vamos escolher duas matrizes específicas para testar isso:
Calculando :
Agora, calculando os determinantes:
Percebemos que , então a primeira condição não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo já tendo mostrado que a adição não é preservada, por completude, vamos verificar a segunda condição: homogeneidade. Precisamos ver se
T(k cdot A) = k cdot T(A)
para um escalar 2 cdot A = 2 & 0 0 & 2 e uma matriz T(2 cdot A) = det 2 & 0 0 & 2 = 4 .
Usando a mesma matriz 2 cdot T(A) = 2 cdot det 1 & 0 0 & 1 = 2 cdot 1 = 2 de antes e :
Calculando os determinantes:
Novamente, , então a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
Concluímos que a aplicação que associa a uma matriz o seu determinante não é uma transformação linear, pois não satisfaz as condições de adição e homogeneidade necessárias para ser linear.