Seja o espaço vetorial das matrizes de ordem 2, com entradas reais. Verifique se a aplicação , tal que
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação , que pega uma matriz com entradas reais e retorna o seu determinante, é uma transformação linear. Vamos usar conceitos de Transformações Lineares e verificar as propriedades necessárias para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem satisfeitas:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
No nosso caso, e , e a transformação é definida pelo determinante da matriz.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição da linearidade: se preserva a adição. Ou seja, queremos saber se
Para duas matrizes e em .
Vamos escolher duas matrizes específicas para testar isso:
Calculando :
Agora, calculando os determinantes:
Percebemos que , então a primeira condição não é satisfeita.

Passo 4

Mesmo já tendo mostrado que a adição não é preservada, por completude, vamos verificar a segunda condição: homogeneidade. Precisamos ver se
para um escalar e uma matriz .
Usando a mesma matriz de antes e :
Calculando os determinantes:
Novamente, , então a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Concluímos que a aplicação que associa a uma matriz o seu determinante não é uma transformação linear, pois não satisfaz as condições de adição e homogeneidade necessárias para ser linear.

Exercícios relacionados

Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
, e verifique que é igual a