Seja o espaço vetorial das matrizes de ordem 2, com entradas reais. Verifique se a aplicação , tal que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a aplicação , que pega uma matriz com entradas reais e retorna o seu determinante, é uma transformação linear. Vamos usar conceitos de Transformações Lineares e verificar as propriedades necessárias para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem satisfeitas:
Adição:
Homogeneidade:
No nosso caso, e , e a transformação é definida pelo determinante da matriz.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição da linearidade: se preserva a adição. Ou seja, queremos saber se
Para duas matrizes e em .
Vamos escolher duas matrizes específicas para testar isso:
Calculando :
Agora, calculando os determinantes:
Percebemos que , então a primeira condição não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo já tendo mostrado que a adição não é preservada, por completude, vamos verificar a segunda condição: homogeneidade. Precisamos ver se
para um escalar e uma matriz .
Usando a mesma matriz de antes e :
Calculando os determinantes:
Novamente, , então a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
Concluímos que a aplicação que associa a uma matriz o seu determinante não é uma transformação linear, pois não satisfaz as condições de adição e homogeneidade necessárias para ser linear.