Seja
. Considere a transformação linear
, tal que
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear
aplicada ao polinômio
. Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços de polinômios, especificamente em
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de linearidade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o polinômio
como uma combinação linear dos polinômios básicos
,
e
. Ou seja:
Passo 3
Como
é uma transformação linear, podemos distribuir
sobre essa combinação linear da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores definidos para
,
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Passo 6
Agora, somamos todas essas partes:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Constantes:
- Termos com
: - Termos com
:
Resposta
Portanto,
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Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz
abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
Determine a solução geral do sistema linear.