Seja P2(R)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R. Considere a transformação linear T: P2(R) P2(R), tal que T(1)=1+x, T(x)=3-x^2 e T(x^2)=4+2 x-3 x^2.
Calcule T(2-2 x+3 x^2).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear aplicada ao polinômio . Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços de polinômios, especificamente em , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de linearidade de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o polinômio 2 - 2x + 3x^2 = 2 cdot 1 + (-2) cdot x + 3 cdot x^2 como uma combinação linear dos polinômios básicos , e . Ou seja:

Passo 3

Como T(2 - 2x + 3x^2) = 2T(1) + (-2)T(x) + 3T(x^2) é uma transformação linear, podemos distribuir sobre essa combinação linear da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores definidos para T(1) = 1 + x , T(x) = 3 - x^2 e T(x^2) = 4 + 2x - 3x^2 :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão anterior:
2T(1) = 2(1 + x) = 2 + 2x
-2T(x) = -2(3 - x^2) = -6 + 2x^2
3T(x^2) = 3(4 + 2x - 3x^2) = 12 + 6x - 9x^2

Passo 6

Agora, somamos todas essas partes:
2 + 2x - 6 + 2x^2 + 12 + 6x - 9x^2

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Constantes:
  • Termos com :
  • Termos com :

Resposta

Portanto,
T(2 - 2x + 3x^2) = 8 + 8x - 7x^2

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