Seja
. Considere a transformação linear
, tal que
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear
aplicada ao polinômio
. Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços de polinômios, especificamente em
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de linearidade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o polinômio
como uma combinação linear dos polinômios básicos
,
e
. Ou seja:
Passo 3
Como
é uma transformação linear, podemos distribuir
sobre essa combinação linear da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores definidos para
,
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Passo 6
Agora, somamos todas essas partes:
Passo 7
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Constantes:
- Termos com
: - Termos com
:
Resposta
Portanto,