Seja . Considere a transformação linear , tal que e .
Calcule .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a transformação linear aplicada ao polinômio . Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços de polinômios, especificamente em , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de linearidade de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o polinômio como uma combinação linear dos polinômios básicos , e . Ou seja:

Passo 3

Como é uma transformação linear, podemos distribuir sobre essa combinação linear da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores definidos para , e :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão anterior:

Passo 6

Agora, somamos todas essas partes:

Passo 7

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Constantes:
  • Termos com :
  • Termos com :

Resposta

Portanto,

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Tome as seguintes matrizes e resolva o que se pede:
, e verifique que é igual a
Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
Determine a solução geral do sistema linear.