y'' - 4y' + 13y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra resolver essa equação diferencial de segunda ordem:

com as condições iniciais e . Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , por r e y por 1, ficando:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Como temos a raiz negativa dentro da raiz quadrada, as soluções serão números complexos:

Passo 4

Com as raízes complexas , a solução geral da equação é:

Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :

Então, .
Agora, derivamos y(t) para encontrar :

Simplificando e aplicando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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