Beleza, vamos lá! A questão pede pra resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , por e por 1, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como temos a raiz negativa dentro da raiz quadrada, as soluções serão números complexos:
Passo 4
Com as raízes complexas , a solução geral da equação é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :