Use a definição para decidir se os vetores dados em R^3 são linearmente dependentes. Justifique sua resposta.
b) u=(1,2,3), v=(2,1,-3), w=(3,1,2), e t=(4,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se os vetores , , e em são linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar a definição de dependência linear e alguns conceitos básicos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Basicamente, isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, se existem escalares a cdot u + b cdot v + c cdot w + d cdot t = 0 (não todos zero) tais que:
então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar essa equação com os valores dos vetores:
a cdot (1,2,3) + b cdot (2,1,-3) + c cdot (3,1,2) + d cdot (4,-1,2) = (0,0,0)
Isso dá o sistema de equações:
a + 2b + 3c + 4d = 0 2a + b + c - d = 0 3a - 3b + 2c + 2d = 0

Passo 4

Nosso objetivo agora é ver se esse sistema tem uma solução não trivial (ou seja, com pelo menos um dos valores diferente de zero). Se tiver, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para simplificar:
Primeira equação:
a + 2b + 3c + 4d = 0 (1)
Segunda equação:
2a + b + c - d = 0 (2)
Terceira equação:
3a - 3b + 2c + 2d = 0 (3)

Passo 6

Vamos multiplicar a equação (1) por 2 e subtrair a equação (2) para eliminar 2(a + 2b + 3c + 4d) - (2a + b + c - d) = 0 2a + 4b + 6c + 8d - 2a - b - c + d = 0 3b + 5c + 9d = 0 (4) :

Passo 7

Agora, vamos multiplicar a equação (1) por 3 e subtrair a equação (3) para eliminar 3(a + 2b + 3c + 4d) - (3a - 3b + 2c + 2d) = 0 3a + 6b + 9c + 12d - 3a + 3b - 2c - 2d = 0 9b + 7c + 10d = 0 (5) :

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações:
3b + 5c + 9d = 0 (4) 9b + 7c + 10d = 0 (5)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação (4) por 3:
9b + 15c + 27d = 0 (6)
Subtraindo a equação (5) da equação (6):
(9b + 15c + 27d) - (9b + 7c + 10d) = 0 8c + 17d = 0 (7)

Passo 9

Da equação (7), podemos expressar 8c = -17d c = -178d em termos de 3b + 5(-178d) + 9d = 0 3b - 858d + 9d = 0 3b + (9 - 858)d = 0 3b - 138d = 0 3b = 138d b = 1324d :
Agora, substituímos na equação (4):

Passo 10

Agora, temos d = 24 b = 1324 times 24 = 13 c = -178 times 24 = -51 e 2a + b + c - d = 0 2a + 13 - 51 - 24 = 0 2a - 62 = 0 2a = 62 a = 31 em termos de . Vamos escolher para facilitar os cálculos:
Agora, substituímos , e na equação (2) para encontrar :

Passo 11

Encontramos , , e , que não são todos zero. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores , , e são linearmente dependentes.

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