Determinar os valores de para que a matriz seja inversível.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver quando ele não é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero, ou seja, . Então, nosso objetivo é calcular e encontrar os valores de que fazem esse determinante diferente de zero.
Passo 3
Olhemos a matriz :
Perceba que a matriz é uma matriz quadrada de ordem 4x4. Para facilitar o cálculo do determinante, vamos notar que ela é matriz triangular na última coluna e linha, com alguns zeros que simplificam nosso trabalho.
Passo 4
Observamos que a última linha e a última coluna têm zeros, exceto no elemento . Isso indica que a matriz é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Porém, como temos uma matriz 4x4 com essa estrutura, vamos simplificar calculando o determinante da submatriz 3x3 que forma a parte superior esquerda.
Passo 5
Vamos isolar a submatriz 3x3:
Agora, vamos calcular o determinante dessa submatriz .
Passo 6
Para calcular o determinante de , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Passo 7
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na expressão do determinante:
Simplificando:
Passo 9
Fatorando o determinante:
Passo 10
Agora, lembrando que , temos:
Para que a matriz seja inversível, precisamos que . Então:
Passo 11
Resolvendo a inequação:
Isso acontece quando cada fator é diferente de zero:
Resposta
A matriz é inversível para todos os valores de tais que e .