Determinar os valores de x para que a matriz A=(ccccx & 1 & 2 & 0 2 & x & 2 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1)4 X 4 seja inversível.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver quando ele não é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero, ou seja, . Então, nosso objetivo é calcular e encontrar os valores de que fazem esse determinante diferente de zero.

Passo 3

Olhemos a matriz A = x & 1 & 2 & 0 2 & x & 2 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 :
Perceba que a matriz é uma matriz quadrada de ordem 4x4. Para facilitar o cálculo do determinante, vamos notar que ela é matriz triangular na última coluna e linha, com alguns zeros que simplificam nosso trabalho.

Passo 4

Observamos que a última linha e a última coluna têm zeros, exceto no elemento . Isso indica que a matriz é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Porém, como temos uma matriz 4x4 com essa estrutura, vamos simplificar calculando o determinante da submatriz 3x3 que forma a parte superior esquerda.

Passo 5

Vamos isolar a submatriz 3x3:
A3x3 = x & 1 & 2 2 & x & 2 0 & 1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa submatriz .

Passo 6

Para calcular o determinante de det(A3x3) = x cdot det x & 2 1 & 2 - 1 cdot det 2 & 2 0 & 2 + 2 cdot det 2 & x 0 & 1 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Passo 7

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. det x & 2 1 & 2 = x cdot 2 - 1 cdot 2 = 2x - 2
  2. det 2 & 2 0 & 2 = 2 cdot 2 - 0 cdot 2 = 4
  3. det 2 & x 0 & 1 = 2 cdot 1 - 0 cdot x = 2

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na expressão do determinante:
det(A3x3) = x cdot (2x - 2) - 1 cdot 4 + 2 cdot 2
det(A3x3) = 2x^2 - 2x - 4 + 4
Simplificando:
det(A3x3) = 2x^2 - 2x

Passo 9

Fatorando o determinante:
det(A3x3) = 2x(x - 1)

Passo 10

Agora, lembrando que det(A) = 2x(x - 1) , temos:
2x(x - 1) neq 0
Para que a matriz seja inversível, precisamos que . Então:

Passo 11

Resolvendo a inequação:
2x(x - 1) neq 0
Isso acontece quando cada fator é diferente de zero:

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores de tais que e .

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