Determinar os valores de para que a matriz seja inversível.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e ver quando ele não é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero, ou seja, . Então, nosso objetivo é calcular e encontrar os valores de que fazem esse determinante diferente de zero.

Passo 3

Olhemos a matriz :
Perceba que a matriz é uma matriz quadrada de ordem 4x4. Para facilitar o cálculo do determinante, vamos notar que ela é matriz triangular na última coluna e linha, com alguns zeros que simplificam nosso trabalho.

Passo 4

Observamos que a última linha e a última coluna têm zeros, exceto no elemento . Isso indica que a matriz é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Porém, como temos uma matriz 4x4 com essa estrutura, vamos simplificar calculando o determinante da submatriz 3x3 que forma a parte superior esquerda.

Passo 5

Vamos isolar a submatriz 3x3:
Agora, vamos calcular o determinante dessa submatriz .

Passo 6

Para calcular o determinante de , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Passo 7

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na expressão do determinante:
Simplificando:

Passo 9

Fatorando o determinante:

Passo 10

Agora, lembrando que , temos:
Para que a matriz seja inversível, precisamos que . Então:

Passo 11

Resolvendo a inequação:
Isso acontece quando cada fator é diferente de zero:

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores de tais que e .

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(ENADE 2017) A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos tem um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear
tem solução
a) o ponto .
b) o plano que passa pelo ponto e possui como vetor diretor o vetor . c) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
d) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
e) o conjunto vazio.
Marque todas as opções para as coordenadas polares do ponto em que suas coordenadas cartesianas são .
Obter uma base para que contenha os vetores:
Calcule o produto interno , onde:
a) ;
b) ;
c) ;