(ENADE 2017) A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos tem um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear
x+2 y+z & =1 x+z & =2 x+y & =-1
tem solução
a) o ponto (0,-1,3).
b) o plano que passa pelo ponto (0,-1,3) e possui como vetor diretor o vetor n=(1,2,1). c) a reta que passa pelo ponto (0,-1,3) e que possui como vetor diretor o vetor n= (1,2,-1).
d) a reta que passa pelo ponto (0,-1,3) e que possui como vetor diretor o vetor n= (1,-1,1).
e) o conjunto vazio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
x + 2y + z &= 1 x + z &= 2 x + y &= -1
O conteúdo aqui envolve sistemas lineares e geometria analítica, já que estamos interpretando as equações como planos no espaço. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos começar simplificando as equações para facilitar a resolução. Olhe para a segunda equação:
x + z = 2
Podemos isolar o x = 2 - z :
Agora sabemos que pode ser expresso em termos de .

Passo 3

Com essa expressão para x + y = -1 , vamos para a terceira equação:
(2 - z) + y = -1 y = -1 - (2 - z) y = -3 + z
Substituindo por :
Agora temos também em termos de .

Passo 4

Agora que temos x + 2y + z = 1 (2 - z) + 2(-3 + z) + z = 1 e 2 - z - 6 + 2z + z = 1 em termos de (2 - 6) + (-z + 2z + z) = 1 -4 + 2z = 1 , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar 2z = 1 + 4 2z = 5 z = 52 = 2,5 :
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Distribua o 2 dentro do parênteses: e .
  2. Substitua de volta na equação:
  1. Combine os termos semelhantes:
  1. Resolva para :

Passo 5

Agora que temos x = 2 - z = 2 - 2,5 = -0,5 , podemos encontrar y = -3 + z = -3 + 2,5 = -0,5 e usando as expressões que encontramos anteriormente:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Assim, a solução do sistema é o ponto . Vamos comparar isso com as opções apresentadas:
a) Ponto
b) Plano passando por com vetor diretor
c) Reta passando por com vetor diretor
d) Reta passando por com vetor diretor
e) Conjunto vazio
Nenhuma das opções a) a d) coincide com a solução que encontramos. Portanto, a resposta correta é:

Resposta

e) o conjunto vazio.

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