Determinar os vatores próprios e os vetores proprios das seguintes transformaçôes lineares: T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear T(x, y, z) = (x + y + z, , 2y + z, , 2y + 3z) definida por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T(x, y, z) = (x + y + z, , 2y + z, , 2y + 3z) como uma matriz A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 . Cada coluna de representa como os vetores base (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) são transformados por .
Dada a transformação:
Podemos escrever a matriz assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores det(A - lambda I) = 0 de . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 2 & 3 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 2 & 3 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det 2 - lambda & 1 2 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 cdot 1 = lambda^2 - 5lambda + 4
Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
(1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) = 0
Então, a equação característica fica:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
(1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Resolvendo a segunda equação:
Então, e .
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos y + z = 0 e 2y + 2z = 0 :
[
v = x 1 0 0 + z 0 -1 1
-3 & 1 & 1 0 & -2 & 1 0 & 2 & -1 x y z = 0 0 0

-3x + y + z = 0 -2y + z = 0 2y - z = 0
]
Isso resulta nas equações:
-3x + y + 2y = 0 Rightarrow -3x + 3y = 0 Rightarrow y = x
Da primeira equação, v = x 1 1 2 . é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Então, os autovetores para são da forma:
Ou seja, qualquer combinação linear de e .

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Onde é qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Os autovalores da transformação são (com multiplicidade 2) e .
  • Para , os autovetores são todas as combinações lineares de e .
  • Para , os autovetores são todas as múltiplas de .

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