Determinar os vatores próprios e os vetores proprios das seguintes transformaçôes lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear definida por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz . Cada coluna de representa como os vetores base (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) são transformados por .
Dada a transformação:
Podemos escrever a matriz assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Vamos calcular :
O determinante dessa matriz é:
Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
Então, a equação característica fica:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo a segunda equação:
Então, e .
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, . é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Então, os autovetores para são da forma:
Ou seja, qualquer combinação linear de e .

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Onde é qualquer número real diferente de zero.

Resposta

Os autovalores da transformação são (com multiplicidade 2) e .
  • Para , os autovetores são todas as combinações lineares de e .
  • Para , os autovetores são todas as múltiplas de .

Exercícios relacionados

(Sel. Mestrado UFSM 2009/1) Nos itens abaixo, considere e matrizes , onde é a matriz identidade.
(a) Seja uma matriz antissimétrica, isto é, . Suponha que é não singular. Mostre que é não singular. Se , mostre que .
Seja uma matriz quadrada. Prove que, se for invertível, então também o é.
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(a)
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(b)