Determinar os vatores próprios e os vetores proprios das seguintes transformaçôes lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear definida por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna de representa como os vetores base (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) são transformados por .
Dada a transformação:
Podemos escrever a matriz assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.
Passo 4
Vamos calcular :
O determinante dessa matriz é:
Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
Então, a equação característica fica:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
⇒
Resolvendo a segunda equação:
Então, e .
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, . é livre, ou seja, pode ser qualquer valor.
Então, os autovetores para são da forma:
Ou seja, qualquer combinação linear de e .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Onde é qualquer número real diferente de zero.
Resposta
Os autovalores da transformação são (com multiplicidade 2) e .
Para , os autovetores são todas as combinações lineares de e .