Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola y^2+6 y-8 x+1=0. Construir o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa parábola juntos! O enunciado nos pede para encontrar o vértice, o foco, a diretriz e o eixo da parábola dada pela equação . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre as formas padrão das parábolas e completar o quadrado para facilitar a identificação desses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos de y^2 + 6y = 8x - 1 juntos:
y^2 + 6y + 9 = 8x - 1 + 9
Agora, vamos completar o quadrado para o lado esquerdo. Para isso, pegamos metade do coeficiente de (y + 3)^2 = 8x + 8 , que é 6, dividimos por 2, ficando 3, e elevamos ao quadrado, obtendo 9. Adicionamos e subtraímos 9:
Isso simplifica para:

Passo 3

Vamos isolar (y + 3)^2 = 8(x + 1) :
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola horizontal:
Comparando, temos:
  • , então

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar:
Vértice:
(h, k) = (-1, -3)
Foco:
Como a parábola abre para a direita (porque (-1 + 2, -3) = (1, -3) ), o foco fica a x = -1 - 2 = -3 unidades à direita do vértice:
y = -3
Diretriz:
A diretriz é uma linha vertical a unidades à esquerda do vértice:
Eixo da parábola:
É a linha que passa pelo vértice e pelo foco, que nesse caso é horizontal:

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:
  • Equação do eixo da parábola:

Gráfico

[Aqui você pode desenhar o gráfico da parábola com vértice em , foco em , diretriz em e eixo em . A parábola abre para a direita.]

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