Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(b) x1+2 x2-x3 & =3 2 x1+5 x2-4 x3 & =5 3 x1+4 x2+2 x3 & =12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O enunciado nos dá três equações com três incógnitas , e . Para resolver, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer operações que simplifiquem até chegarmos a soluções para as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as equações e aplicar as operações de eliminação. A matriz fica assim:
1 & 2 & -1 & | & 3 2 & 5 & -4 & | & 5 3 & 4 & 2 & | & 12

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal teremos zeros. Para isso, começamos eliminando o R2 = R2 - 2 cdot R1 das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vamos eliminar o 2 - 2 cdot 1 = 0 5 - 2 cdot 2 = 1 -4 - 2 cdot (-1) = -2 5 - 2 cdot 3 = -1 da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
0 1 -2 | -1
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R3 = R3 - 3 cdot R1 da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
3 - 3 cdot 1 = 0 4 - 3 cdot 2 = -2 2 - 3 cdot (-1) = 5 12 - 3 cdot 3 = 3
Calculando:
0 -2 5 | 3
Então, a terceira linha fica:
1 & 2 & -1 & | & 3 0 & 1 & -2 & | & -1 0 & -2 & 5 & | & 3
Agora, a matriz está assim:

Passo 5

Vamos agora eliminar o R3 = R3 + 2 cdot R2 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira linha:
-2 + 2 cdot 1 = 0 5 + 2 cdot (-2) = 1 3 + 2 cdot (-1) = 1
Calculando:
0 0 1 | 1
Então, a terceira linha fica:
1 & 2 & -1 & | & 3 0 & 1 & -2 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & 1
Agora, a matriz está na forma triangular superior:

Passo 6

Com a matriz triangular, podemos resolver as incógnitas de baixo para cima.
Começando pela terceira linha:
1 cdot x3 = 1 Rightarrow x3 = 1

Passo 7

Agora, usando o valor de x2 - 2 cdot x3 = -1 x2 - 2 cdot 1 = -1 x2 - 2 = -1 x2 = -1 + 2 x2 = 1 na segunda linha:

Passo 8

Por fim, usando os valores de x1 + 2 cdot x2 - x3 = 3 x1 + 2 cdot 1 - 1 = 3 x1 + 2 - 1 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 3 - 1 x1 = 2 e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1

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