Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(d) r2 x1+x2-3 x3=1 5 x1+2 x2-6 x3=5 3 x1+8 x2-13 x3=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Esse método serve para simplificar um sistema de equações lineares, transformando-o em uma forma mais fácil de resolver, geralmente uma matriz triangular. Para isso, vamos precisar manipular as equações de modo que consigamos eliminar uma variável de cada vez. Nosso sistema é:
2x1 + x2 - 3x3 = 1 5x1 + 2x2 - 6x3 = 5 3x1 + 8x2 - 13x3 = 7

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 1 & -3 & | & 1 5 & 2 & -6 & | & 5 3 & 8 & -13 & | & 7

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar abaixo da diagonal principal (os elementos de 1 & 12 & -32 & | & 12 5 & 2 & -6 & | & 5 3 & 8 & -13 & | & 7 , , ) apenas zeros. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações.
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha ( ) em para facilitar os cálculos. Para isso, dividimos toda a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 5x1 + 2x2 - 6x3 - 5(1x1 + 12x2 - 32x3) = 5 - 5(12) das linhas 2 e 3. Para isso, vamos usar a primeira linha:
  • Linha 2: Subtraímos 5x1 + 2x2 - 6x3 - 5x1 - 52x2 + 152x3 = 5 - 52 vezes a primeira linha da segunda linha.
(5x1 - 5x1) + (2x2 - 52x2) + (-6x3 + 152x3) = 52
Calculando:
0x1 - 12x2 + 32x3 = 52
0x1 - 12x2 + 32x3 = 52
3x1 + 8x2 - 13x3 - 3(1x1 + 12x2 - 32x3) = 7 - 3(12)
Então, a nova Linha 2 fica:
3x1 + 8x2 - 13x3 - 3x1 - 32x2 + 92x3 = 7 - 32
  • Linha 3: Subtraímos (3x1 - 3x1) + (8x2 - 32x2) + (-13x3 + 92x3) = 112 vezes a primeira linha da terceira linha.
0x1 + 132x2 - 172x3 = 112
Calculando:
0x1 + 132x2 - 172x3 = 112
1 & 12 & -32 & | & 12 0 & -12 & 32 & | & 52 0 & 132 & -172 & | & 112
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a Linha 2 para facilitar. Podemos multiplicar toda a segunda linha por 0x1 + (-12 times -2)x2 + (32 times -2)x3 = 52 times -2 para eliminar o denominador:
0x1 + 1x2 - 3x3 = -5
0x1 + x2 - 3x3 = -5
Então, a nova Linha 2 fica:
1 & 12 & -32 & | & 12 0 & 1 & -3 & | & -5 0 & 132 & -172 & | & 112
A matriz atualizada é:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 0x1 + 132x2 - 172x3 - 132(0x1 + 1x2 - 3x3) = 112 - 132(-5) da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0x1 + 132x2 - 172x3 - 0x1 - 132x2 + 392x3 = 112 + 652 e subtraímos da terceira linha:
0x1 + 0x2 + (-172 + 392)x3 = 762
Calculando:
0x1 + 0x2 + 222x3 = 38
11x3 = 38
11x3 = 38
1 & 12 & -32 & | & 12 0 & 1 & -3 & | & -5 0 & 0 & 11 & | & 38
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora é:

Passo 7

Agora que conseguimos uma matriz triangular superior, podemos resolver as variáveis usando retro-substituição.
Primeiro, resolvemos para 11x3 = 38 implies x3 = 3811 na Linha 3:

Passo 8

Em seguida, substituímos x2 - 3x3 = -5 implies x2 - 3(3811) = -5 na Linha 2 para encontrar x2 = -5 + 11411 = -55 + 11411 = 5911 :

Passo 9

Por fim, substituímos x1 + 12x2 - 32x3 = 12 e x1 + 12(5911) - 32(3811) = 12 na Linha 1 para encontrar x1 + 5922 - 11422 = 12 :
x1 - 5522 = 12
x1 = 12 + 5522 = 1122 + 5522 = 6622 = 3

Resposta

A solução do sistema é:
boxed x1 = 3 x2 = dfrac5911 x3 = dfrac3811

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