Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Esse método serve para simplificar um sistema de equações lineares, transformando-o em uma forma mais fácil de resolver, geralmente uma matriz triangular. Para isso, vamos precisar manipular as equações de modo que consigamos eliminar uma variável de cada vez. Nosso sistema é:
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, deixar abaixo da diagonal principal (os elementos de , , ) apenas zeros. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações.
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha () em para facilitar os cálculos. Para isso, dividimos toda a primeira linha por :
Passo 4
Agora, vamos eliminar o das linhas 2 e 3. Para isso, vamos usar a primeira linha:
Linha 2: Subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha.
Calculando:
Então, a nova Linha 2 fica:
Linha 3: Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha.
Calculando:
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a Linha 2 para facilitar. Podemos multiplicar toda a segunda linha por para eliminar o denominador:
Então, a nova Linha 2 fica:
A matriz atualizada é:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
Então, a nova Linha 3 fica:
A matriz agora é:
Passo 7
Agora que conseguimos uma matriz triangular superior, podemos resolver as variáveis usando retro-substituição.
Primeiro, resolvemos para na Linha 3:
Passo 8
Em seguida, substituímos na Linha 2 para encontrar :
Passo 9
Por fim, substituímos e na Linha 1 para encontrar :