Sendo baru=(1,-1,3), barv=(2,1,3) e barw=(-1,-1,4) verifique se baru é combinação linear de barv e barw

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor baru = (1, -1, 3) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores barv = (2, 1, 3) e barw = (-1, -1, 4). Isso envolve o estudo de combinação linear na matéria de Álgebra Linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir se existem coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que baru é uma combinação linear de barv e barw se existir números a e b tais que:
baru = abarv + bbarw
Vamos substituir os vetores pelos seus componentes:
(1, -1, 3) = a(2, 1, 3) + b(-1, -1, 4)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes a e b nos vetores:
(1, -1, 3) = (2a, a, 3a) + (-b, -b, 4b)
Isso resulta em:
(1, -1, 3) = (2a - b, a - b, 3a + 4b)

Passo 4

Para que os dois vetores sejam iguais, cada uma de suas componentes deve ser igual. Isso nos dá um sistema de três equações:
  1. 2a - b = 1
  2. a - b = -1
  3. 3a + 4b = 3

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos resolver as duas primeiras equações para encontrar a e b.
Da segunda equação:
a - b = -1 Rightarrow a = b - 1

Passo 6

Agora, substituímos a = b - 1 na primeira equação:
2(b - 1) - b = 1 2b - 2 - b = 1 b - 2 = 1 b = 3

Passo 7

Com b = 3, podemos encontrar a usando a = b - 1:
a = 3 - 1 a = 2

Passo 8

Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
3(2) + 4(3) = 6 + 12 = 18 neq 3
A terceira equação não é satisfeita, o que significa que não existe uma combinação linear de barv e barw que resulte em baru.

Resposta

Não, o vetor baru não é uma combinação linear dos vetores barv e barw.

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