Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação da hipérbole
. A matéria aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das hipérboles. Para resolver, vamos precisar identificar os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima e as equações das assíntotas dessa hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é
. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a hipérbole está centrada na origem
e abre-se para os lados (horizontalmente).
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
na equação padrão da hipérbole
:
Passo 4
Vértices: São os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo principal. Para nossa hipérbole, os vértices estão em:
Então, os vértices são
e
.
Passo 5
Focos: Para encontrar os focos, usamos a fórmula
:
Os focos estão localizados em:
Então, os focos são
e
.
Passo 6
Excentricidade (e): É a razão entre
e
:
Passo 7
Corda Focal Mínima: Para uma hipérbole, a corda focal mínima é a menor distância entre os focos ao longo da diretora. A fórmula para a corda focal mínima é:
Passo 8
Equações das Assíntotas: As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima nos extremos. Para a forma
, as equações das assíntotas são:
Então, as equações são
e
.
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Corda Focal Mínima: 10 unidades
- Equações das Assíntotas:
e