Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
© x^2-y^2=25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação da hipérbole . A matéria aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das hipérboles. Para resolver, vamos precisar identificar os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima e as equações das assíntotas dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é x^225 - y^225 = 1 . Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a hipérbole está centrada na origem e abre-se para os lados (horizontalmente).

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 25 Rightarrow a = 5 e b^2 = 25 Rightarrow b = 5 na equação padrão da hipérbole :

Passo 4

Vértices: São os pontos mais próximos do centro ao longo do eixo principal. Para nossa hipérbole, os vértices estão em:
(pm a, 0) = (pm 5, 0)
Então, os vértices são e .

Passo 5

Focos: Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiz5^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2 :
(pm c, 0) = (pm 5raiz2, 0)
Os focos estão localizados em:
Então, os focos são e .

Passo 6

Excentricidade (e): É a razão entre e = ca = 5raiz25 = raiz2 approx 1,414 e :

Passo 7

Corda Focal Mínima: Para uma hipérbole, a corda focal mínima é a menor distância entre os focos ao longo da diretora. A fórmula para a corda focal mínima é:
Corda Focal Mínima = 2b^2a = 2 times 255 = 10 í

Passo 8

Equações das Assíntotas: As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima nos extremos. Para a forma y = pm bax = pm 55x = pm x , as equações das assíntotas são:
Então, as equações são e .

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Corda Focal Mínima: 10 unidades
  • Equações das Assíntotas: e

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