Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por:
F(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
Encontre uma base e a dimensão do núcleo de F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve Transformações Lineares, mais especificamente encontrar o núcleo (ou kernel) da transformação F: R^4 R^3 dada por:
F(x, y, z, t) = (x - y + z + t, ; x + 2z - t, ; x + y + 3z - 3t)
Pra resolver isso, a gente vai precisar achar todos os vetores (x, y, z, t) que, quando aplicados na transformação F, dão o vetor zero em R^3. Além disso, vamos determinar uma base para esse núcleo e sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de F é o conjunto de todos os vetores (x, y, z, t) em R^4 que satisfazem F(x, y, z, t) = 0, ou seja:
x - y + z + t = 0 x + 2z - t = 0 x + y + 3z - 3t = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções (x, y, z, t).

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começando com a segunda equação:
x + 2z - t = 0 Rightarrow x = -2z + t (1)
Substituindo x da equação (1) na primeira equação:
(-2z + t) - y + z + t = 0 -2z + t - y + z + t = 0 (-2z + z) + (t + t) - y = 0 - z + 2t - y = 0 Rightarrow y = -z + 2t (2)
Agora, substituímos x da equação (1) e y da equação (2) na terceira equação:
(-2z + t) + (-z + 2t) + 3z - 3t = 0 -2z + t - z + 2t + 3z - 3t = 0 (-2z - z + 3z) + (t + 2t - 3t) = 0 0z + 0t = 0
Isso significa que a terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional, e podemos escolher z e t como parâmetros livres.

Passo 4

Vamos definir z = s e t = r, onde s e r são números reais quaisquer. A partir das equações (1) e (2), temos:
x = -2s + r y = -s + 2r
Então, qualquer vetor no núcleo de F pode ser escrito como:
(x, y, z, t) = (-2s + r, ; -s + 2r, ; s, ; r)
Podemos separar isso em combinação linear:
(x, y, z, t) = s(-2, -1, 1, 0) + r(1, 2, 0, 1)

Resposta

Uma base para o núcleo de F é formada pelos vetores , (-2,; -1,; 1,; 0), ; (1,; 2,; 0,; 1) , e a dimensão do núcleo é 2.

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