Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve Transformações Lineares, mais especificamente encontrar o núcleo (ou kernel) da transformação dada por:
Pra resolver isso, a gente vai precisar achar todos os vetores que, quando aplicados na transformação , dão o vetor zero em . Além disso, vamos determinar uma base para esse núcleo e sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem , ou seja:
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para encontrar todas as soluções (x, y, z, t).
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começando com a segunda equação:
x + 2z - t = 0 Rightarrow x = -2z + t (1)
Substituindo x da equação (1) na primeira equação:
(-2z + t) - y + z + t = 0 -2z + t - y + z + t = 0 (-2z + z) + (t + t) - y = 0 - z + 2t - y = 0 Rightarrow y = -z + 2t (2)
Agora, substituímos x da equação (1) e y da equação (2) na terceira equação: