Determine os valores de x, y e z para que: as matrizes A=(cc2 & 0 -3 & 4) e B=(ll3 & x y & 1) comutem com relação a operação de multiplicação. E como seria com relação a operação de soma?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar os valores de e para que essas matrizes comutem na multiplicação, ou seja, que . Além disso, vamos ver como elas se comportam em relação à soma. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação e adição de matrizes e entender o que significa duas matrizes comutarem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se é uma matriz e também é , o produto é outra matriz onde cada elemento é calculado multiplicando e somando os elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .

Passo 3

Vamos calcular A = 2 & 0 -3 & 4 , B = 3 & x y & 1 . Temos:
AB = 2 times 3 + 0 times y & 2 times x + 0 times 1 -3 times 3 + 4 times y & -3 times x + 4 times 1 = 6 & 2x -9 + 4y & -3x + 4
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = 3 & x y & 1 2 & 0 -3 & 4 :
BA = 3 times 2 + x times (-3) & 3 times 0 + x times 4 y times 2 + 1 times (-3) & y times 0 + 1 times 4 = 6 - 3x & 4x 2y - 3 & 4
Multiplicando por :

Passo 5

Para que 6 = 6 - 3x 2x = 4x -9 + 4y = 2y - 3 -3x + 4 = 4 e comutem na multiplicação, precisa ser igual a . Então, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. Subtraindo 6 de ambos os lados:
    Então,
  2. Subtraindo de ambos os lados:
    Novamente,
  3. Subtraindo de ambos os lados:
    Adicionando 9:
    Então,
  4. Substituindo :
    , que confirma que está certo.

Passo 7

Agora, vamos ver a parte da soma. A soma de duas matrizes é simplesmente a soma dos elementos correspondentes. Ou seja,
A + B = 2 + 3 & 0 + x -3 + y & 4 + 1 = 5 & x y - 3 & 5
Como a soma é comutativa por natureza (ou seja, ), não importa os valores de e , a soma sempre será igual em ambas as ordens.

Resposta

Os valores que satisfazem são e . Além disso, as matrizes sempre comutam em relação à soma, independentemente de e .

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