Determine os valores de e para que: as matrizes e comutem com relação a operação de multiplicação. E como seria com relação a operação de soma?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar os valores de e para que essas matrizes comutem na multiplicação, ou seja, que . Além disso, vamos ver como elas se comportam em relação à soma. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação e adição de matrizes e entender o que significa duas matrizes comutarem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se é uma matriz e também é , o produto é outra matriz onde cada elemento é calculado multiplicando e somando os elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .
Passo 3
Vamos calcular . Temos:
Multiplicando por :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Multiplicando por :
Passo 5
Para que e comutem na multiplicação, precisa ser igual a . Então, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Passo 6
Vamos resolver cada equação:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Então,
Subtraindo de ambos os lados:
Novamente,
Subtraindo de ambos os lados:
Adicionando 9:
Então,
Substituindo :
, que confirma que está certo.
Passo 7
Agora, vamos ver a parte da soma. A soma de duas matrizes é simplesmente a soma dos elementos correspondentes. Ou seja,
A + B = 2 + 3 & 0 + x -3 + y & 4 + 1 = 5 & x y - 3 & 5
Como a soma é comutativa por natureza (ou seja, ), não importa os valores de e , a soma sempre será igual em ambas as ordens.
Resposta
Os valores que satisfazem são e . Além disso, as matrizes sempre comutam em relação à soma, independentemente de e .