Determine os valores de x, y e z para que: A B^t=0, onde A=(lllx & 4 & 2) e B=(lll2 & 7 & -8);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes:
  • Matriz A: A = x & 4 & 2
  • Matriz B: B = 2 & 7 & -8
Queremos encontrar o valor de x de forma que o produto de A pela transposta de B, ou seja, A B^t, seja igual ao vetor nulo 0. Para isso, vamos precisar usar a multiplicação de matrizes e entender como ela funciona.

Passo 2

A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, a transposta de B, que é B^t, fica assim:
B^t = 2 7 -8
Agora, vamos multiplicar a matriz A pela transposta de B.

Passo 3

A multiplicação de uma matriz A (1x3) por uma matriz B^t (3x1) resulta em uma matriz (1x1), que é basicamente um número. A operação é feita multiplicando cada elemento correspondente e somando os resultados:
A B^t = (x cdot 2) + (4 cdot 7) + (2 cdot -8)

Passo 4

Vamos calcular cada parte da multiplicação:
  • x cdot 2 = 2x
  • 4 cdot 7 = 28
  • 2 cdot -8 = -16
Agora, somamos esses valores:
2x + 28 - 16 = 2x + 12

Passo 5

O enunciado diz que A B^t deve ser igual ao vetor nulo 0, ou seja:
2x + 12 = 0
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x.

Passo 6

Isolando x na equação:
2x + 12 = 0
Subtraímos 12 de ambos os lados:
2x = -12
Dividimos ambos os lados por 2:
x = -122 = -6

Resposta

O valor de x que satisfaz a equação A B^t = 0 é x = -6.

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